Рівняння

Що таке рівняння

Рівняння — це математичне твердження про те, що два вирази набувають одного й того самого значення, зазвичай записане у вигляді \( F(x) = G(x) \), де одна або кілька змінних виступають як невідомі, що набувають значень з певної множини, наприклад \( \mathbb{R} \) або \( \mathbb{C} \).

Розв'язати рівняння — означає знайти кожне значення змінної в відповідній області визначення, для якого виконується рівність. Багато рівнянь можна привести до вигляду

\[ F(x) = 0 \]

такий запис спрощує їх вивчення, підкреслює їхню структуру та забезпечує єдину основу для застосування різних методів розв'язання.

Розв'язання рівняння

Розв'язанням рівняння є будь-яке значення змінних, яке робить рівність правильною. Залежно від рівняння та його структури, множина розв'язків може містити:

  • єдиний розв'язок
  • кілька розв'язків
  • нескінченну кількість розв'язків
  • взагалі не мати розв'язків
У деяких випадках, наприклад, у тригонометричних рівняннях, множина розв'язків може бути нескінченною, оскільки відповідні функції є періодичними.

В інших контекстах, особливо в поліноміальних, показникових або трансцендентних рівняннях, розв'язки можуть не належати до дійсних чисел. Коли жодне дійсне значення не задовольняє рівняння, природним середовищем стає комплексна площина, де розв'язки все ще можуть існувати та мати змістовну інтерпретацію. Репрезентативним прикладом є квадратне рівняння з від'ємним визначником, яке не має дійсних коренів, але завжди має два комплексні спряжені розв'язки, як детально обговорено на сторінці про квадратні рівняння з комплексними розв'язками.

Еквівалентні рівняння та допустимі операції

Два рівняння вважаються еквівалентними, якщо вони мають однакові множини розв'язків. Метою розв'язування рівняння є застосування послідовності перетворень, які зберігають цю еквівалентність, тим самим зводячи рівняння до простішого вигляду, в якому розв'язки стають очевидними.

Певні операції гарантовано дають еквівалентне рівняння. Додавання або віднімання одного й того самого виразу з обох частин, або множення обох частин на ненульову сталу не змінює множини розв'язків. Ці маніпуляції становлять основу більшості елементарних методів розв'язання. Як простий приклад, рівняння \( 2x + 4 = 0 \) еквівалентне \( x + 2 = 0 \), отриманому шляхом ділення обох частин на \( 2 \), і обидва рівняння мають єдиний розв'язок \( x = -2 \).

Інші операції можуть порушити еквівалентність менш очевидним чином. Множення обох частин на вираз, що містить змінну, може призвести до появи сторонніх розв'язків, якщо вираз дорівнює нулю для деякого значення \( x \). Аналогічно, піднесення обох частин до квадрата, що є поширеним методом для ірраціональних рівнянь, може дати розв'язки, які задовольняють перетворене рівняння, але не початкове. І навпаки, ділення обох частин на вираз зі змінною може призвести до втрати розв'язків у точках, де цей вираз дорівнює нулю, що детально розглянуто в обговоренні про втрату коренів.

Алгебраїчні рівняння

Алгебраїчні рівняння — це рівняння, обидві частини яких повністю складаються з поліномів. Поліном з однією змінною — це формальний вираз вигляду

\[ P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \]

де \( n \) — невивідне ціле число, коефіцієнти \( a_0, a_1, \ldots, a_n \) належать деякому фіксованому полю (зазвичай \( \mathbb{R} \) або \( \mathbb{C} \)), і \( a_n \neq 0 \), коли \( n \geq 1 \). Ціле число \( n \) є ступенем полінома. Алгебраїчне рівняння тоді набуває вигляду \( P(x) = Q(x) \), або еквівалентно \( P(x) - Q(x) = 0 \), що зводить задачу до знаходження коренів одного полінома. Алгебраїчні рівняння класифікують за ступенем відповідного полінома.

Лінійні рівняння мають ступінь \( 1 \). У них змінна піднесена до степеня не вищого за перший, і їхнє розв'язання завжди є єдиним, якщо провідний коефіцієнт не дорівнює нулю.

Квадратні рівняння мають ступінь \( 2 \) і мають стандартний вигляд \( ax^2 + bx + c = 0 \), де \( a \neq 0 \). Характер їхніх розв'язків визначається дискримінантом \( \Delta = b^2 - 4ac \).

  • Якщо \( \Delta > 0 \), існують два різні дійсні розв'язки.
  • Якщо \( \Delta = 0 \), існує один повторюваний дійсний розв'язок.
  • Якщо \( \Delta < 0 \), розв'язками є пара комплексних спряжених чисел.

Кубічні рівняння мають ступінь \( 3 \) і мають загальний вигляд \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \). Згідно з Основною теоремою алгебри, кожен поліном степеня \( n \) з коефіцієнтами в \( \mathbb{C} \) має рівно \( n \) коренів у \( \mathbb{C} \), враховуючи кратність. Отже, кубічне рівняння має рівно три корені в \( \mathbb{C} \), які можуть бути або всі дійсними, або одним дійсним і двома комплексними спряженими.

Рівняння степеня вищого за трий підпорядковуються тому самому принципу: поліноміальне рівняння степеня \( n \) має рівно \( n \) коренів у \( \mathbb{C} \), враховуючи кратність, хоча явні формули для коренів через радикали існують лише для степенів до чотирьох, що було точно встановлено в теорії Галуа.

Серед рівнянь вищих степенів особливої уваги заслуговують біноміальні та триноміальні рівняння. Це рівняння степеня вищого за два, які містять лише два або три різні члени відповідно, і які часто можна розв'язати методом заміни або шляхом розкладання на поліноми нижчих степенів.

Раціональні рівняння

Раціональні рівняння — це рівняння, що містять принаймні один дробовий вираз, чисельник і знаменник якого є поліномами. У найбільш загальному вигляді вони містять відношення поліномів з обох сторін і завжди можуть бути зведені до вигляду

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \]

шляхом перенесення всіх доданків в один бік і об'єднання їх під спільним знаменником, з обмеженням, що \( Q(x) \neq 0 \). Стандартний підхід полягає в тому, щоб позбутися знаменників, помноживши обидві частини на найменше спільне кратне всіх знаменників у рівнянні, перетворюючи таким чином задачу на поліноміальне рівняння.

Цей крок, однак, потребує уважності: будь-яке значення, що обнуляє знаменник, має бути виключене з множини розв'язків від самого початку, а отримані після позбавлення від знаменників кандидати в розв'язки мають бути перевірені на відповідність цим виключеним значенням.

Ірраціональні рівняння

Ірраціональні рівняння мають змінні під знаком кореня. Зазвичай такі рівняння мають один корінь, наприклад:

\[ \sqrt[n]{\,f(x)\,} = g(x) \]

де \( f(x) \) та \( g(x) \) — поліноми з дійсними коефіцієнтами, а стандартна техніка полягає в ізоляції кореня та піднесенні обох частин до степеня \( n \), щоб позбутися його. Коли рівняння містить більше одного кореня, цей процес слід застосовувати ітераційно. Після кожного кроку ізолюється новий корінь, і процедура повторюється, доки вони не зникнуть. Щоразу, коли обидві частини підносяться до степеня, перетворення не зберігає еквівалентність і може призвести до появи сторонніх розв'язків.

Тому необхідно перевіряти кожен кандидат у розв'язки в початковому рівнянні, і ця вимога стає дедалі важливішою зі зростанням кількості коренів.

Рівняння з абсолютним значенням

Рівняння з абсолютним значенням — це рівняння, у яких невідоме знаходиться всередині виразу з абсолютним значенням. Найпростіший випадок має вигляд \( |x| = a \), де \( a \) — дійсна стала, і множина його розв'язків повністю залежить від знака \( a \).

  • Якщо \( a > 0 \), рівняння має рівно два розв'язання, \( x = a \) та \( x = -a \), оскільки обидва значення мають однакову відстань від початку координат на дійсній прямій.
  • Якщо \( a = 0 \), єдиним розв'язком є \( x = 0 \), оскільки абсолютне значення дійсного числа дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли саме число дорівнює нулю.
  • Якщо \( a < 0 \), рівняння не має розв'язків у \( \mathbb{R} \), тому що абсолютне значення за означенням є невипадковою (невід'ємним) величиною і не може дорівнювати від'ємній сталій.
Рівняння з абсолютним значенням, що містять поліноми або раціональні вирази, часто потребують аналізу випадків залежно від знака внутрішнього виразу. Важливо перевірити, чи кожне потенційне розв'язання задовольняє початкове рівняння, оскільки процедура розбиття на випадки може призвести до появи сторонніх розв'язків.

Трансцендентні рівняння

Трансцендентні рівняння — це рівняння, в яких одна або кілька змінних містяться всередині трансцендентних функцій, таких як показникові, логарифмічні або тригонометричні функції, які не можуть бути представлені як скінченні комбінації алгебраїчних операцій. Ці рівняння виходять за межі поліноміальних або раціональних форм і часто не мають розв'язків у закритій формі: у багатьох випадках явна формула для коренів відсутня, і необхідно використовувати чисельні методи для їх наближення.

Логарифмічні рівняння — це рівняння, що містять змінну всередині логарифмічного виразу, наприклад \( 2\log_2{(2 - x)^2} = 0 \). Такі рівняння зазвичай розв'язують, застосовуючи властивості логарифмів, такі як правило степеня, правила добутку та частки або формулу зміни основи, щоб спростити вираз і ізолювати змінну.

Показникові рівняння — це рівняння, в яких змінна знаходиться в показнику степеня показникові виразу. Вони зазвичай мають вигляд \( a^x = b \), де \( a \) та \( b \) — сталі, а \( x \) — невідома змінна.

Тригонометричні рівняння — це рівняння, що містять періодичні тригонометричні функції, такі як \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) або \( \tan(x) \), які містять змінну. Через періодичну природу цих функцій тригонометричні рівняння часто мають нескінченну кількість розв'язків.

Системи рівнянь

Система рівнянь виникає, коли кілька рівнянь мають бути задоволені одночасно одним і тим самим набором невідомих. Така система складається з двох або більше рівнянь, що містять одні й ті самі змінні, а розв'язком є будь-яке присвоєння значень цим змінним, яке задовольняє всі рівняння одночасно. Системи можуть бути класифіковані як лінійні або нелінійні залежно від вигляду їхніх рівнянь. Аналіз таких систем часто потребує складніших методів, ніж ті, що використовуються для поодиноких рівнянь, включаючи метод підстановки, метод виключення або матричні методи для лінійних систем.