Квадратні рівняння
Вступ
Квадратне рівняння — це поліноміальне рівняння другого степеня з однією змінною. Його стандартна форма має наступний вигляд:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
де \(a\), \(b\) та \(c\) — дійсні коефіцієнти, \(x\) — невідома, і \(a \neq 0\).
- Коефіцієнти \(a\), \(b\) та \(c\) є сталими.
- \(x\) представляє змінну.
- \(a\) — це коефіцієнт квадратичного члена \(x^2\), \(b\) — коефіцієнт лінійного члена \(x\), а \(c\) — вільний член.
- Якщо \(a = 0\), рівняння зводиться до лінійного рівняння \(bx + c = 0\). Якщо також \(b = 0\), рівняння стає сталим і може не мати розв'язання або мати безліч розв'язань, залежно від того, чи \(c \neq 0\) або \(c = 0\).
Квадратні рівняння є особливим типом тричлена рівняння із показником \( n \), що дорівнює 1:
\[ ax^{2n} + bx^{n} + c = 0, \quad n = 1 \]
Геометрична інтерпретація
Квадратне рівняння у вигляді \( y = ax^2 + bx + c \), де \( a \neq 0 \), представляє параболу на площині, визначеній змінними \( x \) та \( y \). Дійсні розв'язання рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) відповідають точкам, у яких парабола перетинає вісь \( x \).
Коли \(a > 0\) парабола відкривається вгору, а коли \(a < 0\) вона відкривається вниз. Це визначає, чи є вершина мінімумом чи максимумом функції:
\[y = ax^2 + bx + c\]
Коли дискримінант \(\Delta = b^2 – 4ac\) є додатнім, парабола перетинає вісь у двох різних точках; коли він дорівнює нулю, парабола є дотичною до осі; а коли він від'ємний, парабола не перетинає вісь і рівняння не має дійсних розв'язань.
Умова \( a \neq 0 \) гарантує, що рівняння описує параболічну криву, а не лінійне рівняння.
Методи розв'язання
Квадратне рівняння називається неповним, якщо або коефіцієнт \(b\), або \(c\) дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння набуває простішої форми і може бути розв'язане безпосередньо, без застосування загальної формули. Першим кроком у розв'язанні квадратного рівняння є запис його у стандартній формі:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
Ця форма дозволяє визначити коефіцієнти та обчислити дискримінант \(\Delta = b^2 – 4ac\). Дискримінант визначає характер розв'язків:
- Два різні дійсні корені, коли \(\Delta > 0\).
- Один дійсний корінь кратності два, коли \(\Delta = 0\).
- Пара комплексних спряжених коренів, коли \(\Delta < 0\).
Найзагальнішим методом розв'язання є формула квадратного рівняння. Однак у деяких випадках розкладання на множники або виділення повного квадрата можуть запропонувати більш прямий шлях до розв'язання.
Основна теорема алгебри гарантує, що квадратне рівняння має рівно два корені в \(\mathbb{C}\), враховуючи їхню кратність. Обидва корені є дійсними, коли \(\Delta \geq 0\), і утворюють пару комплексно-спряжених чисел, коли \(\Delta < 0\).
Формула квадратного рівняння
Для квадратного рівняння у стандартній формі \(ax^2+bx+c = 0\), формула квадратного рівняння має вигляд:
\[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}} \]
- \(a\), \(b\), \(c\) є дійсними коефіцієнтами і \(a \neq 0\).
- Символ \(\pm\) відображає існування двох розв'язань, що відповідають двом знакам.
- Квадратне рівняння має рівно два корені в \(\mathbb{C}\), враховуючи кратність.
- За формулами Вієта, корені задовольняють рівності \(x_1 + x_2 = -b/a\) та \(x_1 \cdot x_2 = c/a\).
Подальшою властивістю визначника є наступна:
\[ \Delta = a^2(x_1 - x_2)^2 \]
Ця тотожність прямо показує, що \(\Delta \geq 0\), коли корені є дійсними, і що \(\Delta = 0\) тоді і тільки тоді, коли два корені збігаються.
Коли визначник від'ємний, розв'язання є комплексними. Спеціальний розділ про квадратні рівняння з комплексними розв'язаннями повністю охоплює цей випадок.
Розкладання на множники
Квадратне рівняння може бути розкладене на множники у наступному вигляді:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
де \(x_1\) та \(x_2\) є коренями рівняння. За формулами Вієта, корені задовольняють наступні співвідношення:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]
Цей метод є ефективним, коли корені можна визначити підбором або простим перевіренням, але стає непрактичним для рівнянь з ірраціональними або комплексними коренями, де бажано використовувати формулу квадратного рівняння.
Як розв'язати квадратне рівняння
- Перепишіть рівняння у стандартному вигляді: \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Обчисліть визначник: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- Скористайтеся формулою квадратного рівняння:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] - Спростіть результат.
- Якщо \( \Delta \geq 0 \), розв'язання є дійсними; якщо \( \Delta < 0 \), розв'язання є комплексними спряженими.
Квадратні рівняння з параметрами
Природним розширенням вивчення квадратних рівнянь є розгляд випадку, коли коефіцієнти не є фіксованими числами, а залежать від зовнішнього параметра. У цьому контексті ми говоримо про квадратні рівняння з параметром, які також називають літеральними квадратними рівняннями, що мають вигляд:
\[ a(k)\,x^2 + b(k)\,x + c(k) = 0, \quad a(k) \neq 0 \]
Зміна параметра \(k\) змінює рівняння і, відповідно, характер його розв'язань. Аналіз базується на визначнику:
\[ \Delta(k) = b(k)^2 - 4\,a(k)\,c(k) \]
який, точно так само, як і в класичному випадку, визначає, чи має рівняння два різних дійсних розв'язання, один повторюваний розв'язок або пару комплексних спряжених розв'язань.
Вправи
-
\[\text{1. } \quad x^2 = 5x-6\] розв'язання
-
\[\text{2. } \quad \frac{1}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{8} = 0\] розв'язання
-
\[\text{3. } \quad -7x + 3 = -2x^2 \] розв'язання
-
\[\text{4. } \quad x^2-5x-14 = 0\] розв'язання
-
\[\text{5. } \quad 2x^2+10x+11 = 0\] розв'язання
-
\[\text{6. } \quad (x-4)^2-9 = 0\] розв'язання
-
\[\text{7. } \quad (4x+8)\left(\frac{1}{2}x-6\right) = 0\] розв'язання
-
\[\text{8. } \quad x^2 + 0.4x-0.16 = 0\] розв'язання
-
\[\text{9. } \quad 7x^2+x+5 = 0\] розв'язання
-
\[\text{10. } \quad 9x^2-5=0\] розв'язання
Деякі рівняння вже подані у стандартному вигляді, інші потребують попередніх алгебраїчних перетворень перед застосуванням методу. Спробуйте розв'язати їх самостійно, перш ніж звертатися до розв'язків.
Вибрана література
- Університет Стоні-Брук. Розкладання квадратних поліномів на множники
- MIT, H. Mui. Формули Вієта
- Університет Оклахоми, M. Zhu. Розв'язування квадратних рівнянь