Логарифмічні рівняння

Вступ

Логарифмічні рівняння — це рівняння, у яких невідоме знаходиться всередині логарифма. Щоб розв'язати їх, вкрай важливо розуміти властивості логарифмів і те, як їх можна застосувати, щоб ізолювати та визначити значення невідомого. Логарифмічне рівняння має вигляд:

\[ \log_af(x) = g(x) \]

  • \( a \) — основа логарифма, і вона повинна задовольняти умову \( a \gt 0, a\neq 1 \)

  • \(f(x)\), аргумент логарифма, має бути більшим за нуль. Це тому, що логарифмічна функція визначена лише для додатних чисел.

Розв'язання логарифмічних рівнянь ґрунтується на ґрунтовному розумінні властивостей логарифмів, таких як правила добутку, частки та степеня, які дозволяють спростити складні вирази та легше ізолювати змінну.

Як розв'язувати логарифмічні рівняння

Процес розв'язання логарифмічних рівнянь можна розділити на чотири основні кроки:

  • Визначте область визначення рівнянь, переконавшись, що аргументи всіх логарифмічних виразів більші за 0, і пам'ятаючи, що основа має бути більшою за 0 і відмінною від 1. \[ \log_af(x) = \begin{cases} a > 0 \\[0.6em] a \neq 1 \\[0.6em] f(x) > 0 \\ \end{cases} \]

  • Застосуйте властивості логарифмів, такі як правила добутку, частки та степеня, щоб об'єднати та спростити логарифмічні члени. Цей крок має на меті звести початкове рівняння до простішої форми, що дозволяє ізолювати змінну.

  • Після спрощення рівняння знайдіть змінну, позбувшись логарифмів. Це часто передбачає піднесення обох частин рівняння до степеня, щоб усунути логарифмічні функції.

  • Підставте отримані розв'язання назад у початкове рівняння, щоб переконатися, що вони задовольняють його. Перевірте, чи всі розв'язання входять в область визначення початкових логарифмічних функцій.

На завершення зауважимо, що обмеження області визначення, визначені на першому кроці, часто природним чином призводять до додаткових умов на змінну. Систематичний розгляд таких випадків можна знайти у відповідному розділі про логарифмічні нерівності, що доповнює розв'язання логарифмічних рівнянь.

Спрощені форми логарифмічних рівнянь

Після того як логарифмічне рівняння спрощено до форми, придатної для знаходження змінної, можуть виникнути наступні стратегії. Рівняння зводиться до вигляду: \[ \log_a f(x) = \log_a g(x) \] У цьому випадку ми можемо скористатися тим фактом, що коли два логарифми з однаковою основою рівні, їхні аргументи також мають бути рівними. Отже, достатньо прирівняти два аргументи та розв'язати отримане рівняння відносно змінної \( x \): \[ f(x) = g(x) \]

Ця еквівалентність дійсна лише тоді, коли обидва логарифмічні вирази визначені. Завжди перевіряйте, що \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\) і що основа задовольняє умови \(a > 0\) та \(a ≠ 1\) перед прирівнюванням аргументів.

Рівняння зводиться до вигляду: \[ \log_a f(x) = b \] У цьому випадку, оскільки подальші спрощення неможливі, розв'язання потребує використання означення логарифма та переходу до показникової форми, що дає: \[ f(x) = a^b \]

Рівняння зводиться до вигляду \[\log_a^2(x+c) + \log_a(x+c) + k = 0 \] де з'являються логарифми, піднесені до певного степеня \(n\), з однаковою основою та однаковим аргументом. У цьому випадку ми можемо використати заміну типу \(z = \log_a(x+c)\), отримавши: \(z^2 + z + k\). Таким чином, рівняння перетворюється на квадратне рівняння або рівняння степеня \(n\), яке можна розв'язати за допомогою формули квадратів або правила Руффіні для поліномів степеня \(n > 2\).

Приклад 1

Розв'яжемо логарифмічне рівняння:

\[ \log_3(2x + 1) = \log_3(x^2) \]

Першим кроком є визначення області допустимих розв'язків, щоб переконатися, що аргументи логарифмів є додатними. Отже, встановимо умови:

\[ 2x + 1 > 0 \rightarrow x > -\frac{1}{2} \] \[ x^2 > 0 \rightarrow x \neq 0 \]

\[ -\frac{1}{2}\] \[ 0\]

Отже, область визначення \(D\) задається наступними проміжками:

\[ \left(-\frac12, 0\right) \;\cup\; (0, +\infty) \]

Оскільки логарифми мають однакову основу і мають вигляд \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), ми можемо прирівняти їхні аргументи. Переносячи доданки в один бік, щоб утворити стандартне квадратне рівняння, отримаємо:

\[ x^2-2x-1 = 0 \]

Це можна розв'язати за допомогою формули коренів квадратного рівняння:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

де \( a = 1 \), \( b = -2 \), та \( c = -1 \). Підставляючи ці значення, отримаємо:

\begin{align*} x &= \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \\[0.6em] &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \\[0.6em] &= \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\[0.6em] &= \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\[0.6em] &= 1 \pm \sqrt{2} \end{align*}

Тепер перевіримо, чи задовольняють розв'язання область визначення:

  • \( x = 1 + \sqrt{2} \approx2.414 \; \) задовольняє \( x > -\dfrac{1}{2} \vee x \neq 0\)
  • \( x = 1-\sqrt{2} \approx −0.414 \; \) задовольняє \( x > -\dfrac{1}{2} \vee x \neq 0 \)

Розв'язанням рівняння є:

\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]