Логарифмічна функція

Границі, похідні та інтеграли

Фундаментальна границя, що включає логарифмічну функцію, описує її поведінку біля нуля та на нескінченності та відіграє важливу роль у вивченні логарифмічних функцій. Для логарифмічної функції з основою \(a>1\), коли змінна наближається до нуля справа, значення логарифма необмежено зменшується, тоді як воно необмежено зростає, коли змінна прагне до нескінченності. Ця поведінка формально виражається наступними границями:

\[1. \quad \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \] \[2. \quad \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty \]

Коли основа логарифма \( 0 < a < 1 \), маємо:

\[3. \quad \lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty \] \[4. \quad \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty\]

Похідна логарифмічної функції з основою \(a\) може бути отримана шляхом застосування стандартних правил диференціювання для логарифмів. Зокрема, для \(x>0\) та \(a>0\) при \(a\neq 1\), похідна \(\log_a(x)\) по \(x\) визначається як: \[ 5. \quad \frac{d}{dx}\,\log_a(x) = \frac{1}{x\,\ln(a)} \]

Невизначений інтеграл логарифмічної функції з основою \(a\) може бути виведений, згадавши про зв'язок між логарифмами з різними основами. Оскільки: \[ \log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)} \]

інтегрування можна звести до інтеграла від натурального логарифма. Використовуючи стандартні методи математичного аналізу, зокрема інтегрування частинами, отримаємо наступний результат: \[ 6. \quad \int \frac{\log(x)}{\log(a)} \, dx = \frac{x\,(\log(x)-1)}{\log(a)} + c \]

Натуральний логарифм

Більш загально, розглянемо функцію \( y = \ln(x) \), натуральний логарифм, маємо: \[7. \quad \ln(x) = \log_e(x)\]

Використовуючи формулу переходу до іншої основи, це можна переписати як: \[8. \quad \ln(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(e)}\]

Для натурального логарифма \(\ln(x)\), який визначений для всіх \(x>0\), швидкість зміни відносно \(x\) є особливо простою. Дійсно, похідна \(\ln(x)\) задається виразом: \[ 9. \quad \frac{d}{dx}\,\ln(x) = \frac{1}{x} \]

Цей результат відображає той факт, що натуральний логарифм є оберненою функцією до показникової функції \(e^x\), і пояснює, чому \(\ln(x)\) зростає повільно зі збільшенням \(x\).

Важливе інтегральне представлення натурального логарифма включає визначений інтеграл від \(\ln(t)\) на проміжку, що починається з початку координат. Зокрема, розглянемо інтеграл \[ 10 . \quad \int_{0}^{x} \ln(t) \, dt \] який визначений для \(x>0\). Хоча підінтегральна функція \(\ln(t)\) не визначена при \(t=0\), інтеграл інтерпретується як неправильний інтеграл. Його значення можна обчислити за допомогою інтегрування частинами, що дає: \[ \int \ln(t)\,dt = t\ln(t) – t + c \] Застосувавши цю первісну і обчисливши границю при наближенні нижньої межі до нуля, отримаємо: \[ \int_{0}^{x} \ln(t)\,dt = \bigl[t\ln(t) - t\bigr]_{0}^{x} = x\ln(x) - x + 1 \]

Фундаментальним визначеним інтегралом, що містить натуральний логарифм, є \[ 11. \quad \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx = -1 \] Цей інтеграл інтерпретується як неправильний інтеграл, оскільки натуральний логарифм не визначений при \(x=0\). Його значення можна отримати, використовуючи первісну \(x\ln(x) – x\) та обчисливши границю на нижній межі. Результат показує, що на проміжку \((0,1)\) переважають від'ємні значення \(\ln(x)\), що призводить до чистої від'ємної площі, що дорівнює \(-1\).