Раціональні рівняння

Що таке раціональні рівняння

Раціональні рівняння містять принаймні один дріб, у якому чисельник і знаменник є поліномами. Такі рівняння класифікуються як раціональні, оскільки їх можна представити як відношення двох поліномів. Зокрема, раціональні рівняння мають такий вигляд:

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \]

де \(P(x)\) та \(Q(x)\) — поліноми і \(Q(x) \neq 0\). Нагадаємо, що поліном складається з комбінації мономіалів, які додаються або віднімаються для формування повного виразу. Таким чином, поліном має загальний вигляд:

\[ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2x^2 + a_1x + a_0 \]

Де:

  • \(ax^n\) — мономіал;
  • \(a\) — дійсне число, відоме як коефіцієнт члена;
  • \(n\) — невипадкове ціле число, що представляє показник степеня змінної.

Відмінність між ірраціональними та раціональними рівняннями

Ключова відмінність між раціональними та ірраціональними рівняннями полягає в їхній структурі. Раціональні рівняння складаються з дробів з поліномами як у чисельнику, так і в знаменнику, і завжди можуть бути представлені як відношення двох поліномів. Ірраціональні рівняння містять корені різних степенів та розв'язання, які не можуть бути описані як раціональні числа. Ці корені представлені за допомогою радикальних позначень та індексу, що вказує на їхній степінь.

Ця фундаментальна різниця є вирішальною для розуміння природи цих рівнянь. Наприклад:

  • \(\dfrac{2s}{2x-1}\) — це раціональне рівняння, оскільки вираз містить лише відношення поліноміальних членів

  • \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}\) — це ірраціональне рівняння, оскільки змінна знаходиться під коренем.

Як розв'язувати раціональні рівняння

  • Першим кроком до розв'язання раціональних рівнянь є визначення значень, які роблять знаменники рівними нулю. Ці значення не є допустимими розв'язками, оскільки вони призводять до невизначеної форми.

  • Наступний крок передбачає визначення найменшого спільного кратного (НСК) поліномів у всіх знаменниках та пошук розв'язків для поліномів у чисельнику.

  • На завершальному етапі процесу необхідно вилучити значення, що обнуляють знаменники, і, відповідно, перевірити прийнятність решти розв'язків, щоб оцінити їхню допустимість згідно з заданими умовами.

Приклад

Розв'яжіть раціональне рівняння: \[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = 0\]

Першим кроком до розв'язання цих рівнянь є визначення значень, які роблять знаменники рівними нулю. Ці значення не є допустимими розв'язками, оскільки вони призводять до невизначеної форми:

\begin{align} x+1 = 0 \quad\quad x = -1\\[0.5em] x+2 = 0 \quad\quad x = -2\\[0.5em] \end{align}

Значення, для яких \(x = -1\) та \(x = -2\), мають бути виключені з розв'язків, оскільки вони зробили б знаменники рівними нулю.

Тепер перейдемо до обчислень і отримаємо:

\begin{align} &\frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+1)(x+2)} = 0\\[1em] & \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = 0\\[1em] &\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)} = 0 \end{align}

Знайдемо розв'язки, що обнуляють чисельник \(2x+3 = 0\), а потім перевіримо їхню правильність. Рівняння зводиться до лінійного рівняння першого степеня, яке має єдиний розв'язок \(\large{x = -\frac{3}{2}}\). Цей розв'язок не входить до чисел, що обнуляють \(x\) у знаменнику; отже, він є допустимим розв'язком. Нарешті, підставимо розв'язок у початкове рівняння та перевіримо, чи виконується рівність.

\begin{align*} \frac{1}{{-\frac{3}{2}+1}} + \frac{1}{{-\frac{3}{2}+2}} &= 0\\[1em] \frac{1}{{-\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} &= 0\\[1em] +2-2 &=0 \end{align*}

Рівність підтверджено, отже \(x = \large(-\frac{3}{2})\) є розв'язком рівняння.

Розв'язання рівняння: \[x= - \frac{3}{2}\]

Розв'яжіть наступні раціональні рівняння

  • \[\text{1. } \quad \frac{3x-2}{5-2x} = 0\] розв'язання

  • \[\text{2. } \quad 1-\frac{6}{x} = -\frac{8}{x^2}\] розв'язання

  • \[\text{3. } \quad \frac{2x+1}{6} = \frac{1}{x}\] розв'язання

  • \[\text{4. } \quad \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x^2-1}\] розв'язання

  • \[\text{5. } \quad \frac{2x}{x+1}-\frac{3}{x+5} = \frac{-8x^2}{x^2+6x+5}\] розв'язання

  • \[\text{6. } \quad \frac{4x-x}{3x+2}-\frac{1}{9x^2-4} = 0\] розв'язання

  • \[\text{7. } \quad \frac{1}{x-4} = \frac{7}{x^2+x-20} \] розв'язання

  • \[\text{8. } \quad \frac{x-5}{x^3+9x+27x+27} =0\] розв'язання

  • \[\text{9. } \quad \frac{x^2-9}{x-3} = 4\] розв'язання

  • \[\text{10. } \quad \frac{x^2+4x-5}{x-1} = \frac{x-2}{2}\] розв'язання

Запропоновані рівняння ретельно підібрані, щоб допомогти вам закріпити розуміння раціональних рівнянь. Спробуйте розв'язати їх самостійно, перш ніж перевіряти надані розв'язання.

Глосарій

  • Раціональне рівняння: рівняння, що містить принаймні один дріб, у якому чисельник і знаменник є поліномами.

  • Поліном: вираз, що складається з комбінації одночленів, які додаються або віднімаються.

  • Одночлен: член полінома, зазвичай вигляду \( ax^n \), де \( a \) — дійсний коефіцієнт, а \( n \) — невивідний цілий показник степеня.

  • Чисельник: верхня частина дробу.

  • Знаменник: нижня частина дробу.

  • Виключені значення: значення змінної, які перетворюють знаменник раціонального виразу на нуль і, отже, не можуть бути розв'язками.

  • Найменше спільне кратне (НСК): найменше додатне ціле число, яке є кратним двом або більше заданим цілим числам або поліномам. Використовується для об'єднання дробів у раціональних рівняннях.

  • Ірраціональне рівняння: рівняння, що містить корені зі змінних, часто представлені за допомогою радикального запису.