Поліноміальні рівняння

Степінь та класифікація

Степінь поліноміального рівняння визначає значну частину його поведінки та визначає, скільки розв'язань можна очікувати знайти. Поліноміальне рівняння першого степеня називається лінійним рівнянням. Його загальний вигляд має наступний:

\[ a_1 x + a_0 = 0 \]

Оскільки \(a_1 \neq 0\), це рівняння має рівно один дійсний розв'язок, який отримують шляхом ізоляції \(x\).

\[ x = -\frac{a_0}{a_1} \]

Поліноміальне рівняння другого степеня називається квадратним рівнянням. Його загальний вигляд має наступний:

\[ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \]

Розв'язки квадратного рівняння описуються формулою коренів квадратного рівняння, яка виражає їх через дискримінант \(\Delta = a_1^2 – 4 a_2 a_0\). Поліноміальне рівняння третього степеня називається кубічним рівнянням, а четвертого степеня — біквадратним (або рівнянням четвертого степеня).

Для рівнянь вище четвертого степеня зазвичай використовують їхній числовий степінь: рівняння п'ятого степеня, рівняння шостого степеня і так далі.

Основна теорема алгебри

Існування та кількість коренів поліноміального рівняння визначаються Основною теоремою алгебри, яка гарантує, що кожне поліноміальне рівняння степеня \(n \geq 1\) з комплексними коефіцієнтами має рівно \(n\) коренів у \(\mathbb{C}\), якщо рахувати їх з урахуванням кратності.

Наслідки цієї теореми, включаючи розкладання на лінійні множники над \(\mathbb{C}\) та структуру спіржжених пар комплексних коренів дійсних поліномів, обговорюються в статті про корені полінома.

Теорема про раціональний корінь

Коли коефіцієнти поліноміального рівняння є цілими числами, можна визначити всіх кандидатів на раціональні корені, не розв'язуючи рівняння безпосередньо. Припустимо, рівняння має наступний вигляд.

\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 \]

Якщо \(x = p/q\) є раціональним коренем, вираженим у найпростішому вигляді, то \(p\) має бути дільником вільного члена \(a_0\), а \(q\) має бути дільником старшого коефіцієнта \(a_n\). Цей результат, відомий як теорема про раціональний корінь, зводить пошук раціональних розв'язків до скінченного списку кандидатів. Для ілюстрації розглянемо наступне рівняння.

\[ 2x^3 – 3x^2 – 11x + 6 = 0 \]

Дільниками вільного члена \(6\) є \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\), а дільниками старшого коефіцієнта \(2\) є \(\pm 1, \pm 2\). Таким чином, кандидатами на раціональні корені є всі дроби вигляду \(p/q\), утворені з цих двох множин. Перевірка \(x = 3\) шляхом прямої підстановки дає наступне.

\[ 2(27) – 3(9) – 11(3) + 6 = 54 – 27 – 33 + 6 = 0 \]

Оскільки \(x = 3\) є коренем, множник \((x – 3)\) ділить поліном. Виконання ділення дає наступне розкладання.

\[ 2x^3 – 3x^2 – 11x + 6 = (x – 3)(2x^2 + 3x – 2) \]

Залишковий квадратний тричлен \(2x^2 + 3x – 2\) можна розкласти як \((2x – 1)(x + 2)\), що дає повне розкладання.

\[ 2x^3 – 3x^2 – 11x + 6 = (x – 3)(2x – 1)(x + 2) \]

Отже, три дійсні корені: \(x = 3\), \(x = 1/2\) та \(x = -2\).

Формули Вієта

Коефіцієнти поліноміального рівняння не є незалежними від його коренів: вони пов'язані з ними через систему тотожностей, відомих як формули Вієта. Для монічного поліноміального рівняння степеня \(n\) з коренями \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ці тотожності мають такий вигляд.

\[ \begin{align} x_1 + x_2 + \cdots + x_n &= -c_{n-1} \\[6pt] \sum_{i < j} x_i x_j &= c_{n-2} \\[6pt] &\vdots \\[6pt] x_1 x_2 \cdots x_n &= (-1)^n c_0 \end{align} \]

Іншими словами, кожен коефіцієнт є елементарним симетричним поліномом від коренів. Виведення та детальний розгляд квадратичного випадку наведено в статті про трикутники.

Зведення до поліноміального рівняння

Багато рівнянь, які на перший погляд не здаються поліноміальними, можуть бути зведені до поліноміальної форми за допомогою алгебраїчних перетворень, після чого методи, розглянуті в цій статті, застосовуються безпосередньо. Раціональне рівняння, як-от наступне

\[ x + \frac{1}{x} = 3 \]

стає поліноміальним після множення обох частин на \(x\), що дає \(x^2 – 3x + 1 = 0\). Ірраціональне рівняння, як-от:

\[ \sqrt{x + 1} + x = 5 \]

стає поліноміальним після ізоляції радикала та піднесення обох частин до квадрата. Ізоляція радикала дає наступне:

\[ \sqrt{x + 1} = 5 – x \]

Піднесення обох частин до квадрата дає наступне:

\[ x + 1 = (5 – x)^2 = 25 – 10x + x^2 \]

Перегрупувавши члени, отримаємо квадратичне рівняння:

\[ x^2 – 11x + 24 = 0 \]

розв'язання якого: \(x = 3\) та \(x = 8\). Підставивши назад у початкове рівняння, \(x = 3\) задовольняє його, тоді як \(x = 8\) — ні, оскільки:

\[\sqrt{9} + 8 = 11 \neq 5\]

Значення \(x = 8\) є стороннім розв'язанням, що з'явилося внаслідок піднесення до квадрата.

В обох випадках зведення вводить обмеження, які необхідно перевірити: множення на \(x\) вимагає \(x \neq 0\), а піднесення до квадрата може ввести сторонні розв'язання, які не задовольняють початкове рівняння.

Метод зведення та перевірка розв'язань детально розглянуті в статтях про раціональні рівняння та ірраціональні рівняння.

Розв'язність у радикалах

Для поліноміальних рівнянь степеня до чотирьох відомі явні формули, що виражають корені через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій та радикалів. Квадратна формула розв'язує рівняння другого степеня. Аналогічні, але значно складніші формули, завдяки Кардано та Феррарі, розв'язують рівняння третього та четвертого степенів відповідно.

Для степеня п'ять і вище такої загальної формули не існує. Цей результат, суворо встановлений Абелем та Руффіні і поміщений у визначену теоретичну основу Галуа, є однією з визначних теорем сучасної алгебри.

Група Галуа загального полінома п'ятого степеня або вище не є розв'язною, що виключає будь-яке розв'язання, яке можна було б виразити виключно радикалами. Окремі рівняння високого степеня все ще можуть бути розв'язними в радикалах, якщо їхня група Галуа виявиться розв'язною, але універсальної формули такого типу існувати не може.

Щоб зрозуміти, що це означає на практиці, розглянемо це рівняння:

\[ x^5 - 1 = 0 \]

Рівняння розкладається як: \[(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0\]

і його п'ять коренів є коренями п'ятого степеня з одиниці, які можна записати явно через радикали та тригонометричні значення.

Тепер розглянемо наступне рівняння:

\[ x^5 - x - 1 = 0 \]

Це рівняння не має такої закритої форми. Його дійсний корінь не може бути виражений будь-якою скінченною комбінацією арифметичних операцій та радикалів, застосованих до коефіцієнтів. Обидва рівняння мають п'ятий степінь, але їхня алгебраїчна структура відрізняється таким чином, що це визначає можливість існування формули в радикалах.