Системи лінійних рівнянь
Що таке лінійна система?
Лінійні системи моделюють задачі, де кілька умов мають бути виконані одночасно. Вони становлять основу багатьох методів розв'язання в алгебрі та прикладній математиці. Дано \( n \) змінних \( x_1, x_2, \dots, x_n \), система називається лінійною, якщо всі рівняння є лінійними рівняннями, тобто кожна змінна з'являється в першому степені, без добутків між змінними. Стандартна форма лінійної системи з \( m \) рівняннями та \( n \) невідомими записується як:
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\[0.5em] \quad\vdots \\[0.5em] a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]
У лінійній системі, записаній у стандартній формі, коефіцієнти \( a_{ij} \) представляють значення, на яке множиться змінна \( x_j \) у \( i \)-му рівнянні.
Однорідні системи
Кожне \( b_i \) позначає сталу частину (також звану відомим членом) у правій частині \( i \)-го рівняння. Якщо всі сталі частини дорівнюють нулю, тобто \( \forall i,\ b_i = 0 \), система називається однорідною.
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\[0.5em] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\[0.5em] \quad\vdots \\[0.5em] a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} \]
Розв'язання
Розв'язати лінійну систему означає знайти впорядкований \( n \)-кортеж значень, що позначається як \( (s_1, s_2, \dots, s_n) \), який задовольняє всі рівняння системи.
- Система називається сумісною, якщо існує принаймні один розв'язок, і її рівняння є сумісними.
- Якщо розв'язка не існує, система називається несумісною, а її рівняння — несумісними.
- Якщо існує лише один розв'язок, система називається визначеною.
- Якщо існує безліч розв'язків, вона називається невизначеною.
Лінійні системи визначаються їхніми коефіцієнтами та сталими, які можна природним чином організувати у матриці. Цей зв'язок дозволяє нам компактно представити систему та застосовувати матричні методи для її аналізу та розв'язання.
Будь-яка лінійна система у стандартній формі може бути представлена матрицею розміром \( m \times n \), де \( m \) — кількість рівнянь, а \( n \) — кількість змінних. Матриця, утворена коефіцієнтами змінних, називається матрицею коефіцієнтів:
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[0.5em] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.5em] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
Сталі частини та змінні можуть бути організовані у два стовпчикових вектори:
\[ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad\quad B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]
Отже, систему можна переписати в матричній формі як:
\[ A \cdot X = B \]
Ця компактна форма узагальнює всю систему, де \( A \) — матриця коефіцієнтів, \( X \) — вектор змінних, а \( B \) — вектор сталих.
Чому матрична форма є важливою?
Розв'язання систем лінійних рівнянь може стати складним, особливо зі збільшенням кількості рівнянь і змінних. Хоча ми розглянемо різні методи розв'язання, варто зауважити, що переписування системи в матричній формі є особливо корисним. Це забезпечує більш компактне представлення і часто спрощує процес пошуку розв'язків.
Як розв'язати лінійну систему з однаковою кількістю рівнянь і невідомих (\( n = m \))
Лінійну систему з \( n \) рівняннями та \( n \) невідомими можна розв'язати за допомогою методу оберненої матриці. Якщо матриця коефіцієнтів \( A \) є несингулярною, тобто якщо її визначник не дорівнює нулю, система \(A \cdot X = B\) має єдиний розв'язок, що визначається як:
\[ X = A^{-1}B \]
Приклад
Розв’яжемо відносно простий приклад: лінійну систему з 3 рівняннями у 3 невідомих, де \( n = m \).
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\[0.5em] 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\[0.5em] 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 8 \end{cases} \]
Спершу визначимо матрицю коефіцієнтів \( A \) та обчислимо визначник:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \quad \det(A) = -2 \]
Зверніться до розділу про обчислення визначника квадратної матриці для кращого розуміння методу.
Оскільки визначник матриці не дорівнює нулю, матриця є несингулярною, і можна обчислити її обернену матрицю.
\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \]
Зверніться до розділу про обчислення оберненої матриці для перегляду всіх кроків.
Тепер представимо систему як \( X = A^{-1}B \), щоб визначити невідомі змінні:
\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 8 \end{bmatrix} \]
Тепер обчислимо значення \( x_1 \), \( x_2 \) та \( x_3 \) з матричного рівняння.
\[ \begin{aligned} x_1 &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 8 = \dfrac{1}{2} \\[0.5em] x_2 &= 0 \cdot 3 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 2 \\[0.5em] x_3 &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 + 1 \cdot 4 – \dfrac{1}{2} \cdot 8 = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
Отже, розв'язаннями системи є:
\[ x_1 = \dfrac{1}{2} \quad\quad x_2 = 2 \quad\quad x_3 = \dfrac{3}{2} \]