Рівняння з модулем
Вступ
Рівняння з модулем — це особливий клас рівнянь, в яких змінна \( x \) з'являється всередині виразу з модулем. Модуль числа показує, наскільки далеко число знаходиться від нуля на числовій прямій, незалежно від його знаку. Він перетворює будь-яке дійсне число на його невід'ємний відповідник за таким правилом:
\[ |x| = \begin{cases} +x & \text{if } x \geq 0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \\[0.6em] -x & \text{if } x < 0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \end{cases} \]
При розв'язуванні рівняння з модулем необхідно розглянути обидва можливі випадки (додатний і від'ємний), оскільки знак виразу під модулем визначає, яке означення слід застосувати. Цей процес часто призводить до двох окремих лінійних рівнянь, які потрібно розглянути окремо.
Властивості
Функція модуля \( |x| \) підпорядковується кільком важливим алгебраїчним властивостям, що описують її взаємодію з основними арифметичними операціями та порівняннями. Розуміння цих правил є фундаментальним при спрощенні виразів або розв'язуванні рівнянь з модулями. Наступний перелік узагальнює ключові властивості, що характеризують поведінку модулів у дійсних числах:
\[ |x| = |-x| \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
\[ |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \]
\[ |x| = |y| \iff x = \pm y \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \]
\[ |x| \leq |y| \iff x^2 \leq y^2 \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \]
\[ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \quad \forall x, y \in \mathbb{R},\ y \ne 0 \]
\[ \sqrt{x^2} = |x| \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Ці властивості корисні для перетворення виразів з модулями та для спрощення обчислень при розв'язуванні відповідних рівнянь.
Розв’язування рівнянь з модулем
Щоб розв’язати рівняння з модулями, необхідно проаналізувати вираз під модулем і розглянути можливі знаки, які він може набувати. Загальний підхід залежить від типу рівняння: чи дорівнює модуль сталій, чи іншому виразу. У кожному випадку процес розв’язування передбачає розбиття рівняння на окремі випадки відповідно до означення функції модуля.
Розглянемо базовий випадок: \[ |A(x)| = a \]
Загалом, якщо \( a \geq 0 \), рівняння еквівалентне \( A(x) = a \) або \( A(x) = -a \). Якщо \( a < 0 \), рівняння не має розв’язків. Наприклад, рівняння \( |3 + 2x| = -2 \) не має розв’язків, оскільки модуль виразу не може бути від’ємним.
Розглянемо тепер випадок:
\[ |A(x)| = B(x) \]
і для його розв’язування необхідно враховувати знак виразу під модулем при виконанні обчислень.
Приклад 1
Розв’яжемо рівняння: \[ |2x - 4| = x + 1 \]
Спочатку проаналізуємо знак виразу під модулем. Маємо \( 2x - 4 \geq 0 \), звідки \( x \geq 2 \).
Згідно з (1), рівняння набуває вигляду:
\[ |2x - 4| = \begin{cases} 2x-4 & \text{if } x \geq 2\\[0.5em] -2x+4 & \text{if } x < 2 \end{cases} \]
Розв’яжемо тепер першу систему:
\[ \begin{cases} x \geq 2 \\[0.5em] 2x – 4 = x + 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x \geq 2 \\[0.5em] 2x - x = + 1 + 4 \rightarrow x = 5 \end{cases} \]
Цей розв’язок є допустимим, оскільки він задовольняє умову \( x \geq 2 \).
Щойно ми розглянули систему нерівностей з однією змінною та двома нерівностями. Ознайомтеся з відповідним записом, щоб дізнатися більше про процес розв’язування та як працювати зі складнішими випадками.
Розв’яжемо тепер другу систему:
\[ \begin{cases} x < 2 \\[0.5em] -2x + 4 = x + 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x < 2 \\[0.5em] -2x -x =+ 1 - 4\rightarrow -3x = -3 \rightarrow x = 1 \end{cases} \]
Цей розв'язок є допустимим, оскільки він задовольняє умову \( x < 2 \).
Розв'язком рівняння є:
\[x= 1 \quad x=5\]
Приклад 2
Розв’яжемо рівняння: \[ \frac{|3x|}{|x+1|} = |x|\]
Ми маємо справу з дробово-раціональним рівнянням, для якого необхідно визначити умови існування, що в цьому випадку відповідають значенням \( x \), які перетворюють знаменник на нуль. Знаменник дорівнює нулю при \( x = -1 \), тому це значення необхідно виключити з множини розв’язків.
Використовуючи властивості модуля, ми можемо переписати рівняння як:
\[3 \left| \frac{x}{x+1} \right| = |x|\]
Отже, ми повинні проаналізувати знаки виразів. Почнемо з розгляду наступного випадку:
\[\frac{3x}{x+1} = x \rightarrow 3x = x^2 + x \rightarrow x^2 -2x \rightarrow x(x - 2)\]
Ми отримали просте квадратне рівняння, розв'язками якого є:
\[x=0 \quad x= 2\]
Обидва розв’язки є допустимими, оскільки вони відрізняються від \( -1 \).
Ми розв’язали квадратне рівняння без використання формули квадратного рівняння, факторизувавши відповідний поліном та знайшовши значення \( x \), що перетворюють кожен лінійний множник на нуль.
Розглянемо тепер випадок:
\[\frac{3x}{x+1} = -x \rightarrow 3x = -x^2 – x \rightarrow x^2 + 4x \rightarrow x(x +4)\]
Діючи як вище, ми отримали просте квадратне рівняння, розв'язками якого є:
\[x=0 \quad x= -4\]
Обидва розв'язки є допустимими, оскільки вони відрізняються від \( -1 \).
Розв'язком рівняння є:
\[x=-4 \quad x=0 \quad x= 2 \]