Формула коренів квадратного рівняння
Означення
Дано квадратне рівняння у стандартному вигляді \(ax^2 + bx + c = 0\); формула коренів квадратного рівняння надає явний вираз для його коренів через коефіцієнти \(a\), \(b\) та \(c\):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Формула виводиться шляхом застосування методу доповнення до повного квадрата до загального стандартного вигляду і є одним із центральних результатів алгебри. Вона універсально застосовна до будь-якого квадратного рівняння з дійсними або комплексними коефіцієнтами, за умови що \(a \neq 0\).
- \(a, b, c\) є коефіцієнтами рівняння, при цьому \(a \neq 0\).
- Символ плюс-мінус відображає той факт, що формула дає два значення, які відповідають двом кореням полінома.
- Згідно з основною теоремою алгебри, поліном другого степеня має рівно два корені в \(\mathbb{C}\), враховуючи кратність. Це можуть бути два різні дійсні числа, один повторений дійсний корінь або пара комплексних спряжених чисел залежно від знака дискримінанта.
Формула коренів квадратного рівняння також забезпечує природну основу для вивчення того, як змінюються корені, коли коефіцієнти залежать від параметра. У такому випадку дискримінант стає функцією самого параметра, і його знак визначає, як змінюється характер коренів при зміні параметра. Цей аналіз детально розглядається у відповідній статті про квадратні рівняння з параметрами.
Формула коренів квадратного рівняння є дійсною над будь-яким полем, у якому можна обчислити квадратні корені. Коли коефіцієнти є дійсними, формула завжди дає розв'язання в \(\mathbb{C}\), оскільки кожне комплексне число має квадратний корінь у \(\mathbb{C}\). Це гарантує, що жодне квадратне рівняння не залишиться без розв'язань, якщо працювати у відповідній області.
Дискримінант
Вираз під знаком квадратного кореня, \(\Delta = b^2 – 4ac\), відомий як дискримінант, і він має вирішальне значення для визначення характеру та кількості розв'язань квадратного рівняння.
Якщо \( \Delta > 0\), квадратне рівняння має два різні дійсні розв'язання. \[S = \{x_1, x_2\} \quad x_1, x_2 \in \mathbb{R} \quad x_1 \neq x_2 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Якщо \( \Delta = 0\), квадратне рівняння має два збігаються дійсні розв'язання. \[S = \{x\} \quad x \in \mathbb{R} \quad x = x_1 = x_2 \] \[x= -\frac{b}{2a}\]
Якщо \( \Delta < 0\), квадратне рівняння не має дійсних розв'язань. Замість цього воно дає пару комплексних спряжених розв'язань з ненульовою уявною частиною. \[\nexists \hspace{10px} x \in \mathbb{R}\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\] Детальний розгляд цього випадку представлено у статті про квадратні рівняння з комплексними розв'язаннями.
Дискримінант \(\Delta = b^2 – 4ac\) також визначає, як графік квадратичної функції \(f(x) = ax^2 + bx + c\) поводиться відносно осі x. Геометрично квадратне рівняння представляє параболу. Розглянемо, наприклад, наступне рівняння \( y = x^2 + 4x + 4 \):
Загалом маємо:
-
Якщо \(\Delta \gt 0\), графік параболи перетинає вісь x у двох різних точках.
-
якщо \(\Delta = 0\), графік параболи є дотичним до осі x в одній точці (вершині).
-
якщо \(\Delta \lt 0\), графік параболи взагалі не перетинає вісь \(x\).
Формули Вієта
Для квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) з коренями \( x_1 \) та \( x_2 \), сума та добуток коренів визначаються так:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Ці співвідношення виконуються в \( \mathbb{C} \) для будь-якого значення дискримінанта і випливають безпосередньо з розкриття дужок у розкладеному вигляді \( a(x – x_1)(x – x_2) \) та порівняння коефіцієнтів. Їхній вивід та застосування, включаючи роль, яку вони відіграють у розкладанні поліномів вищого степеня, детально обговорюються у статті про триноміальні рівняння.
Приклад 1
Розв'яжіть рівняння \( x^2 – 4x + 2 = 0 \), використовуючи формулу коренів квадратного рівняння.
Рівняння вже записане у стандартному вигляді, де \( a = 1 \), \( b = -4 \), та \( c = 2 \). Підставимо значення у формулу:
\[ \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(2)}}{2(1)} \\[0.8em] &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} \\[0.8em] &= \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \end{align*} \]
Оскільки \( \Delta = 8 > 0 \), рівняння має два різні дійсні розв'язання. Спростивши \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), отримаємо:
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\]
Отже, розв'язання такі: \[ x_1 = 2 - \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 + \sqrt{2} \]