Визначення області визначення функції
Систематичний метод визначення області визначення функції
У вступі до функцій ми розглянули поняття області визначення функції, тобто множини значень аргументу, для яких вираз має математичний сенс. Ми також розглянули, як визначити область визначення базових сімейств функцій, таких як поліноми, ірраціональні вирази, логарифми та тригонометричні вирази.
На практиці, однак, ми часто стикаємося з більш складними виразами, що поєднують кілька типів функцій в одній формулі. У таких ситуаціях визначення області визначення не завжди є очевидним, оскільки кожен внутрішній компонент може накладати свої обмеження. При роботі з такими випадками найефективнішу стратегію можна звести до наступних кроків:
- Почніть з аналізу внутрішніх компонентів виразу та визначте область визначення, необхідну для кожного з них.
- Рухайтеся зовні, шар за шаром, поширюючи обмеження, що накладаються кожною новою операцією або функцією.
- Об'єднайте всі отримані умови, знайшовши їхній перетин, оскільки загальна область визначення складається лише з тих значень, які одночасно задовольняють кожне обмеження.
Щоб зрозуміти, як ця процедура працює на практиці, варто перейти безпосередньо до конкретного прикладу та застосувати кожен крок до реальних виразів.
Типи проміжків
Вивчаючи область визначення функції, корисно згадати, як визначаються дійсні проміжки, оскільки область визначення завжди виражається як об'єднання таких множин. Проміжки описують неперервні частини прямої дійсних чисел і забезпечують компактний спосіб вказати, які значення \(x\) є допустимими. Першим типом є відкритий проміжок, який містить усі точки строго між двома кінцевими точками, виключаючи самі кінцеві точки. У описовій формі він записується як
\[
\lbrace\,x : a < x < b\,\rbrace
\]
а в позначенні проміжків він виглядає так:
\[
(a,\,b)
\]
Це позначення особливо зручне, коли значення \(a\) та \(b\) відповідають точкам, де функція не визначена або де виникає розрив. Графічно ілюстрації на Algebrica будуть слідувати цій конвенції. Кінцеві точки \(a\) та \(b\) відображаються як відкриті кола, щоб показати, що вони не входять до проміжку, тоді як відрізок, що з'єднує їх, представляє всі значення строго між \(a\) та \(b\). Така візуальна нотація робить відкритий проміжок одразу впізнаваним, чітко підкреслюючи, що його кінцеві точки виключені.
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Другим типом є замкнений проміжок, який включає обидві кінцеві точки. У описовій формі він записується так:
\[
\lbrace\,x : a \le x \le b\,\rbrace
\]
і відповідне позначення проміжку:
\[
[\,a,\,b\,]
\]
Таке представлення є типовим, коли функція визначена і неперервна навіть у граничних точках \(a\) та \(b\). У тому ж дусі, що й ілюстрація, наведена вище, замкнений проміжок графічно представляється заповненням кінцевих точок \(a\) та \(b\). Суцільні точки вказують на те, що обидва граничні значення включені, тоді як відрізок між ними відображає кожну точку від \(a\) до \(b\). Ця конвенція робить структуру замкненого проміжку одразу зрозумілою, підкреслюючи, що його кінцеві точки є частиною множини.
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Природно, легко побачити, що також можливі інші комбінації відкритих і замкнених кінцевих точок. Наприклад, може бути напівзамкнений проміжок, такий як \([a, +\infty)\), або, більш загально, проміжки, що поєднують включення та виключення на своїх межах, наприклад \((a, b]\). Ці форми проілюстровані на рисунку нижче і зазвичай використовуються при описі областей визначення, які продовжуються нескінченно або починаються з певного граничного значення.
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Графічний запис, запроваджений вище, є особливо корисним, оскільки він дозволяє з одного погляду визначити область визначення функції. Коли виникає кілька умов існування від різних компонентів виразу, кожну умову можна представити як окрему діаграму інтервалів. Загальна область визначення тоді отримується шляхом перетину цих умов: іншими словами, лише ті інтервали, що одночасно з'являються на всіх лініях діаграми, утворюють множину допустимих значень \(x\). Такий візуальний підхід робить структуру області визначення зрозумілою та допомагає уникнути помилок при поєднанні кількох обмежень.
Область визначення елементарних функцій
Як додатковий момент, який варто пам'ятати, корисно узагальнити обмеження області визначення, що виникають через найпоширеніші вирази:
- Поліноми: завжди визначені на \(\mathbb{R}.\)
- Раціональні функції: знаменник \(\neq 0.\)
- Парні корені: підкореневий вираз \(\gt 0.\)
- Непарні корені: завжди визначені на \(\mathbb{R}.\)
- Логарифми: аргумент \(> 0\), основа \(> 0\), основа \(\neq 1.\)
- Модулі: завжди визначені на \(\mathbb{R}.\)
- Тригонометричні функції: завжди визначені на \(\mathbb{R}.\)
- Обернені тригонометричні функції: аргумент у межах певних значень
Приклад 1
Щоб навести приклад використання графічного методу, розглянемо функцію:
\[ f(x) = \log(x – 1) + \sqrt{x + 4} \]
Щоб визначити її область визначення, кожен компонент необхідно розглянути окремо, оскільки функція визначена лише для тих значень \(x\), які задовольняють усі базові умови одночасно.
Логарифмічний член \(\log(x – 1)\) вимагає, щоб його аргумент був суворо додатнім. Це призводить до умови: \[ x – 1 > 0 \]
що означає, що допустимими є лише значення, більші за \(1\). Будь-яке значення, менше або рівне \(1\), негайно порушує означення логарифма. Графічно ми можемо представити цю умову наступним чином:
| \[ 1\] | ||
|---|---|---|
Член з квадратним коренем \(\sqrt{x + 4}\) вимагає, щоб його аргумент був невипадково від'ємним (невід'ємним). Ця умова виражається так: \[ x + 4 \ge 0 \] отже, дозволені значення \(x \ge -4\). Порівняно з логарифмічним обмеженням, ця вимога є менш суворою, оскільки кожне значення, більше за \(1\), автоматично є більшим за \(-4\). Додавши цей результат до попередньої діаграми, ми отримаємо:
| \[ -4\] | \[ 1\] | ||
|---|---|---|---|
Об'єднавши все разом, область визначення функції отримується шляхом перетину двох умов \(x > 1\) та \(x \ge -4\). Оскільки \(x > 1\) вже передбачає \(x \ge -4\), перетин зводиться до простої нерівності \(x > 1)\).
Отже, область визначення функції представлена виділеним чорним відрізком, який відповідає проміжку: \[ (1, +\infty) \]
Приклад 2
Розглянемо відносно простий приклад, який уже поєднує квадратний корінь, логарифм і тригонометричну функцію. Функція задана як:
\[ f(x) = \sqrt{\frac{\log(2 + \sin x)}{\sinh(x)}} \]
На перший погляд, визначення області визначення цієї функції не є зовсім простим. Однак, перше спостереження, яке ми можемо зробити, полягає в тому, що наявність тригонометричного члена вказує на те, що будь-які умови, які ми отримаємо, ймовірно, будуть повторюватися періодично. Тепер ми застосуємо описаний вище метод, крок за кроком досліджуючи обмеження області визначення, що вводяться кожним окремим компонентом виразу, починаючи з найвнутрішніших елементів.
Перший елемент, який ми зустрічаємо, — це логарифм: \[\log(2 + \sin x)\]
Оскільки логарифм визначений лише для строго додатних значень, ми вимагаємо:
\[2 + \sin x > 0\]
Оскільки \(\sin x\) змінюється в межах від \(-1\) до \(1\), найменше значення, яке може набути цей вираз, дорівнює \(2 - 1 = 1\), що вже є додатним. Це означає, що логарифм не вводить обмежень на область визначення, оскільки його аргумент є додатним для кожного дійсного значення \(x\).
Переходячи на крок далі, сам логарифм з'являється в чисельнику дробу, знаменником якого є \(\sinh(x)\). Знаменник не може бути рівним нулю, оскільки ділення на нуль не визначене в дійсних числах, тому ми повинні виключити значення \(x\), для яких \(\sinh(x) = 0\). Гіперболічний синус зникає лише при \(x = 0\), тому цю точку необхідно видалити з області визначення.
Нарешті, весь дріб знаходиться під квадратним коренем, що вимагає, щоб його аргумент був невід'ємним.
-
Чисельник \(\log(2 + \sin x)\) завжди є невід'ємним і стає рівним нулю саме тоді, коли \(\sin x = -1\), тобто в точках \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\). У цих точках дріб дорівнює нулю, і, таким чином, є допустимим, за умови, що знаменник не дорівнює нулю, що завжди виконується, за винятком \(x = 0\), яка вже була виключена.
-
Для всіх інших значень \(\log(2 + \sin x)\) є строго додатним, тому знак усього дробу залежить виключно від знака \(\sinh(x)\). Гіперболічний синус є додатним при \(x > 0\) і від'ємним при \(x < 0\). Оскільки підкореневий вираз має бути невід'ємним, дріб є допустимим саме тоді, коли \(x > 0\), або коли чисельник дорівнює нулю.
Об'єднавши ці спостереження, область визначення складається з усіх \(x\), що є більшими за нуль, а також ізольованих точок, де \(\sin x = -1\). Отже, область визначення:
\[ (0, +\infty) \;\cup\; \left\{ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\} \]
Приклад 3
Розглянемо інший приклад і визначимо область визначення функції:
\[ f(x) = \sqrt{\cos^{2}(3x - 1) - \log\!\bigl(5 – |2x|\bigr)} \]
Ми визначаємо область визначення, досліджуючи вираз зсередини назовні, ідентифікуючи обмеження, що вводяться кожним компонентом, і об'єднуючи їх наприкінці. Першим елементом, що накладає обмеження, є логарифм. Оскільки натуральний логарифм приймає лише строго додатні аргументи, ми повинні вимагати
\[ 5 - |2x| > 0 \]
Розв'язання цієї нерівності, що містить модуль, дає:
\[ |2x| < 5 \quad \rightarrow \quad -\frac{5}{2} < x < \frac{5}{2} \]
Тригонометрична частина, \(\cos^{2}(3x - 1)\), не вводить додаткових обмежень, оскільки функція косинуса та її квадрат визначені для всіх дійсних значень \(x\).
Тепер ми переходимо на один рівень назовні та розглядаємо весь вираз під квадратним коренем. Квадратний корінь визначений лише тоді, коли його аргумент є невід'ємним, тому ми повинні накласти умову
\[ \cos^{2}(3x – 1) – \log(5 - |2x|) \ge 0 \]
Ця нерівність пов'язує два члени з дуже різною поведінкою. Квадрат косинуса коливається між \(0\) та \(1\), тоді як логарифм змінюється на інтервалі \((-5/2,\; 5/2)\) і стає довільно великим, коли \(|2x|\) наближається до 5 знизу. Таким чином, нерівність виконується лише для тих значень \(x\), для яких логарифмічний член не перевищує значення квадрата косинуса. Іншими словами, ми повинні мати:
\[ \log(5 – |2x|) \le \cos^{2}(3x – 1) \]
Множина розв'язків цієї нерівності міститься в інтервалі \((-5/2, 5/2)\), оскільки за межами цього інтервалу логарифм більше не був би визначений. Нарешті, ми об'єднуємо всі обмеження шляхом їхнього перетину, оскільки функція визначена лише тоді, коли кожна умова виконується одночасно. Логарифм дає інтервал
\[ -\frac{5}{2} < x < \frac{5}{2} \]
і в межах цього інтервалу ми повинні додатково вибрати лише ті значення \(x\), для яких
\[ \cos^{2}(3x - 1) - \log(5 – |2x|) \ge 0 \]
На завершення, область визначення функції задається всіма дійсними значеннями \(x\), такими що:
\[
x \in \left(-\frac{5}{2},\, \frac{5}{2}\right)
\]