Що таке логарифмічна нерівність?

Логарифмічна нерівність — це нерівність, що містить один або кілька логарифмічних виразів, у яких невідома змінна міститься в аргументі або в основі логарифма. Її розв'язання потребує визначення області визначення та використання монотонності логарифмічної функції.

Чому знак нерівності змінюється, коли основа знаходиться між 0 та 1?

Коли основа логарифма знаходиться між нулем та одиницею, логарифмічна функція є строго спадаючою. Як наслідок, застосування логарифма до обох частин нерівності змінює її напрямок на протилежний. Цю властивість необхідно враховувати для отримання правильних розв'язків.

Логарифмічні нерівності

Q: Як розв'язувати логарифмічні нерівності?

Щоб розв'язати логарифмічну нерівність, спочатку визначте область визначення, вимагаючи, щоб усі аргументи логарифмів були додатними. Потім проаналізуйте основу логарифма: якщо основа більша за одиницю, знак нерівності зберігається; якщо вона знаходиться між нулем та одиницею, знак нерівності змінюється на протилежний при знятті логарифмів. Нарешті, розв'яжіть отриману алгебраїчну нерівність і знайдіть перетин розв'язку з областю визначення.

2025-02-13

Вступ

Логарифмічні нерівності — це нерівності, що містять один або кілька логарифмічних виразів, у яких невідома змінна \(x\) з'являється або в аргументі логарифма, або, в деяких випадках, у самій основі. Перш ніж переходити до логарифмічних нерівностей, важливо мати ґрунтовне розуміння логарифмів, їхніх основних властивостей та стандартних методів, що використовуються для розв'язання логарифмічних рівнянь, оскільки ці інструменти є вирішальними для правильного підходу та розв'язання таких нерівностей.

Логарифмічні нерівності можуть мати загальний вигляд:

\[ \log_af(x) \lesseqgtr \log_ag(x) \]

\(a\) — основа логарифма, при якій (a > 0) та \(a \neq 1.\)
\(f(x)\) та \(g(x)\) — алгебраїчні вирази, що залежать від змінної \(x.\)
Символ \(\lesseqgtr\) позначає одне з відношень \(\le\), \(=\) або \(\ge.\)

Крім того, щоб нерівність була правильно визначеною, мають бути виконані такі умови:

\[ \begin{cases} f(x) > 0\\[0.6em] g(x) > 0\\[0.6em] \end{cases} \]

Нерівність, що містить логарифмічний вираз, у якому невідома змінна не з'являється ні в аргументі, ні в основі логарифма, не є логарифмічною нерівністю. Іншими словами, така нерівність, як: \[ \log_3(9) - 3x > 0 \] не є логарифмічною нерівністю, оскільки логарифмічний член є сталою. Натомість,
\[ \log_3(9x) – 3x > 0 \] є логарифмічною нерівністю, тому що змінна \(x\) з'являється всередині аргументу логарифма і безпосередньо впливає на його область визначення та поведінку.

Як розв'язувати логарифмічні нерівності

Процес розв'язання логарифмічних нерівностей є загальним, проте для зручності пояснення розглянемо наступну нерівність: \[ \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \]

Процедуру можна розділити на чотири основні кроки:

Визначити область визначення нерівності, встановивши умови допустимості. Аргументи всіх логарифмічних виразів мають бути строго додатними, а основа має задовольняти: \[ \begin{cases} f(x) > 0 \\[0.6em] g(x) > 0 \\[0.6em] \end{cases} \]
Основа має задовольняти: \[ \begin{cases} a > 0 \\[0.6em] a \neq 1 \\[0.6em] \end{cases} \]
Якщо \(a > 1\), логарифмічна функція є зростаючою, і нерівність зберігає свій напрямок при відкиданні логарифмів.
Якщо \(0 < a < 1\), логарифмічна функція є спадаючою, і напрямок нерівності має бути змінений на протилежний при відкиданні логарифмів.
Використати монотонність логарифмічної функції, щоб відкинути логарифми та звести задачу до еквівалентної алгебраїчної нерівності, що містить \(f(x)\) та \(g(x)\).
Розв'язати отриману алгебраїчну нерівність і знайти перетин множини розв'язків з раніше визначеною областю визначення, відкинувши всі значення, що не задовольняють початкових логарифмічних умов.

Щоб пояснити роль, яку відіграє основа логарифма, згадаємо поведінку логарифмічної функції, коли \(0 < a < 1\). З її графіка ми помічаємо, що функція є строго спадаючою на всій своїй області визначення, з вертикальною асимптотою вздовж осі \(y\):

Graph of the logarithmic function with base between zero and one.

Пунктирна крива представляє логарифмічну функцію з основою \(a > 1\). У цьому випадку функція є строго зростаючою. В обох випадках, коли \(x = 1\), значення логарифмічної функції дорівнює \(0\), і графіки перетинаються в точці \((1,0)\).

Приклад 1

Розглянемо логарифмічну нерівність: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) \]

Почнемо з визначення області визначення нерівності. Аргументи логарифмів мають бути строго додатними: \[ \begin{cases} x + 3 > 0 \\[0.6em] 2x – 1 > 0 \end{cases} \]

Використовуючи графічне представлення та розглядаючи інтервали розв'язання лінійних нерівностей у попередній системі, ми знайдемо, що їхній перетин, який визначає область визначення логарифмічної нерівності, саме \(x > 1/2\).

	\[ -3\]	\[\frac{1}{2}\]

Отже, область визначення \(D\) початкової нерівності задається наступним проміжком: \[ \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right) \]

Далі проаналізуємо основу логарифма. Оскільки основа задовольняє умову \[ 0 < \frac{1}{2} < 1 \] логарифмічна функція є строго спадною. Як наслідок, при відкиданні логарифмів знак нерівності має бути змінений на протилежний. Таким чином, дана нерівність: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}}(2x – 1) \] еквівалентна нерівності: \[ x + 3 \le 2x - 1 \]

Тепер розв'яжемо отриману алгебраїчну нерівність: \[ x + 3 \le 2x – 1 \quad \rightarrow \quad x \ge 4 \]

Нарешті, знайдемо перетин цього результату з раніше визначеною областю визначення. Оскільки область визначення вимагає \(x > \frac{1}{2}\), умова \(x \ge 4\) є допустимою.

Звідси, множина розв'язків логарифмічної нерівності: \[ x \ge 4 \]

Приклад 2

Розглянемо логарифмічну нерівність:

\[ \log_{\frac{1}{2}}(x+1) > \log_2(2-x) \]

Почнемо з визначення області визначення. Аргументи логарифмів мають бути строго додатними, отже:

\[ \begin{cases} x+1 > 0 \\[0.6em] 2-x > 0 \\[0.6em] \end{cases} \]

Використовуючи графічне представлення та розглянувши інтервали розв'язків лінійних нерівностей у попередній системі, ми знайдемо, що їхній перетин задається умовою \( -1 < x < 2\).

	\[ -1\]	\[2\]

Отже, область визначення \(D\) початкової нерівності задається наступним проміжком: \[ (-1, 2) \]

Далі перепишемо логарифм з основою \(\tfrac{1}{2}\) через основу \(2\). Оскільки \(\tfrac{1}{2} = 2^{-1}\), маємо \[ \log_{\frac{1}{2}}(x+1) = \frac{\log_2(x+1)}{\log_2(\frac{1}{2})} = -\log_2(x+1) \]

Підставивши це в початкову нерівність, отримаємо:

\[ \log_2(x+1) < -\log_2(2-x) \]

Переносячи всі логарифмічні доданки в один бік і застосовуючи властивості логарифмів, отримаємо: \[ \log_2(x+1) + \log_2(2-x) < 0 \]

що, за властивістю суми логарифмів, яка стверджує, що сума двох логарифмів дорівнює логарифму їхнього добутку, дозволяє нам переписати вираз наступним чином:

\[ \log_2!\bigl((x+1)(2-x)\bigr) < 0 \]

Оскільки логарифмічна функція з основою \(2>1\) є строго зростаючою, ця нерівність еквівалентна \[ 0 < (x+1)(2-x) < 1 \]

У межах області визначення \((-1,2)\) добуток \((x+1)(2-x)\) завжди є додатним, тому достатньо розв'язати:

\[ (x+1)(2-x) < 1 \]

Розкривши дужки та спростивши, отримаємо \[ x^2 – x – 1 > 0 \]

Відповідне квадратне рівняння має корені: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Нерівність виконується поза проміжком, визначеним цими коренями. Перетнувши цей результат з областю визначення \((-1,2)\), ми нарешті отримаємо множину розв'язків: \[ -1 < x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}\]