Обернена матриця
Означення
Дано квадратну матрицю порядку \( n \), обернею до \( A \), що позначається \( A^{-1} \), є така матриця, що:
\[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \]
де \( I \) — одинична матриця порядку \( n \). Якщо така матриця існує, вона є єдиною. Квадратна матриця, що має обернену, називається обертною або несингулярною. Матриця, що не має оберненої, називається сингулярною.
Обернена матриця представляє лінійне перетворення, яке скасовує дію вихідного перетворення. Якщо \( A \) відображає вектор \( \mathbf{x} \) у \( \mathbf{b} \), тобто \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), то \( A^{-1} \) відображає \( \mathbf{b} \) назад у \( \mathbf{x} \):
\[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \]
Саме цей принцип лежить в основі розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.
Квадратна матриця \( A \) є обертною тоді і тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю:
\[ A \text{ є обертною} \iff \det(A) \neq 0 \]
Умова \( \det(A) \neq 0 \) є як необхідною, так і достатньою для обертності. Вона еквівалентна вимозі, щоб рядки (або стовпці) \( A \) були лінійно незалежними, а ранг \( A \) дорівнював \( n \). Множина всіх обертних матриць порядку \( n \) утворює групу за операцією множення матриць, відому як загальна лінійна група \( GL(n, \mathbb{R}) \), що обговорюється в статті про групи.
Властивості оберненої матриці
Обернена матриця задовольняє наступні властивості для квадратних матриць \( A \) та \( B \) порядку \( n \):
- \( (A^{-1})^{-1} = A \). Обернена до оберненої матриці — це вихідна матриця.
- \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \). Обернена матриця до добутку змінює порядок множників на протилежний.
- \( (A^{\mathrm{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}} \). Обернена до транспонованої матриці дорівнює транспонованій оберненій матриці.
- \( \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} \). Визначник оберненої матриці є оберненим значенням до визначника \( A \).
Зміна порядку в \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \) необхідна з тієї ж причини, що і в транспонуванні: множення матриць не є комутативним, тому для знаходження оберненої до добутку потрібно знайти обернені до кожного множника та змінити їхній порядок.
Обчислення оберненої матриці: метод алгебраїчних доповнень
Обернена до квадратної матриці \( A \) порядку \( n \), якщо вона існує, може бути обчислена за допомогою методу алгебраїчних доповнень. Дано квадратну матрицю \( A = (a_{ij}) \), мінор \( M_{ij} \) — це визначник підматриці розміру \( (n-1) \times (n-1) \), отриманої шляхом викреслення \( i \)-го рядка та \( j \)-го стовпця матриці \( A \). Алгебраїчне доповнення \( C_{ij} \) визначається як:
\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \]
Матриця алгебраїчних доповнень \( C \) — це матриця, елементом якої на позиції \( (i,j) \) є алгебраїчне доповнення \( C_{ij} \). Транспонована матриця алгебраїчних доповнень, що позначається \( C^{\mathrm{T}} \), називається приєднаною матрицею до \( A \) і записується як \( \mathrm{adj}(A) \). Тоді обернена матриця визначається так:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\, C^{\mathrm{T}} = \frac{1}{\det(A)}\, \mathrm{adj}(A) \]
Обчислення відбувається наступним чином: обчислити алгебраїчне доповнення \( C_{ij} \) для кожного елемента \( A \), скласти матрицю алгебраїчних доповнень \( C \), знайти її транспоновану матрицю, щоб отримати \( \mathrm{adj}(A) \), і поділити кожен елемент на \( \det(A) \).
Приклад
Розглянемо наступну матрицю:
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[6pt] 2 & 1 & 0 \\[6pt] -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]
Це нижня трикутна матриця. Її визначник дорівнює добутку діагональних елементів:
\[ \begin{aligned} C_{11} &= (+1) \qquad \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[6pt] 4 & 2 \end{pmatrix} & 2 \\[12pt] C_{12} &= (-1) \qquad \det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] -1 & 2 \end{pmatrix} & -4 \\[12pt] C_{13} &= (+1) \qquad\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[6pt] -1 & 4 \end{pmatrix} & 9 \\[12pt] C_{21} &= (-1) \qquad \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\[6pt] 4 & 2 \end{pmatrix} & 0 \\[12pt] C_{22} &= (+1) \qquad \det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[6pt] -1 & 2 \end{pmatrix} & 6 \\[12pt] C_{23} &= (-1) \qquad \det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[6pt] -1 & 4 \end{pmatrix} & -12 \\[12pt] C_{31} &= (+1) \qquad \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\[6pt] 1 & 0 \end{pmatrix} & 0 \\[12pt] C_{32} &= (-1) \qquad \det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[6pt] 2 & 0 \end{pmatrix} & 0 \\[12pt] C_{33} &= (+1) \qquad \det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix} & 3 \end{aligned} \]
Матриця алгебраїчних доповень \( C \) складається з дев'яти обчислених вище алгебраїчних доповень:
\[ C = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -4 & \phantom{-}9 \\[6pt] \phantom{-}0 & \phantom{-}6 & -12 \\[6pt] \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}3 \end{pmatrix} \]
Транспонування \( C \) дає приєднану матрицю \( A \):
\[ \mathrm{adj}(A) = C^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\[6pt] -4 & \phantom{-}6 & \phantom{-}0 \\[6pt] \phantom{-}9 & -12 & \phantom{-}3 \end{pmatrix} \]
Ділимо на \( \det(A) = 6 \):
\[ A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\[6pt] -4 & \phantom{-}6 & \phantom{-}0 \\[6pt] \phantom{-}9 & -12 & \phantom{-}3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\[10pt] -\dfrac{2}{3} & 1 & 0 \\[10pt] \dfrac{3}{2} & -2 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \]
Метод алгебраїчних доповень є точним, але обчислювально дорогим для великих матриць, зі складністю \( O(n!) \) через необхідність обчислення визначників. У чисельній практиці обернена матриця зазвичай обчислюється за допомогою методу Гаусса або LU-розкладу, які забезпечують складність \( O(n^3) \).