Визначник квадратної матриці

Означення

Кожній квадратній матриці порядку \( n \) можна поставити в відповідність дійсне число, яке називається визначником матриці та позначається \( \det(A) \) або \( |A| \). Визначник — це скалярна функція, що кодує як алгебраїчні, так і геометричні властивості відповідного лінійного перетворення:

\[ \det : M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \]

Він визначає, чи є матриця оберненою, і вимірює коефіцієнт, у скільки разів перетворення масштабує об'єми. Він з'являється в явному розв'язанні систем лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера та відіграє центральну роль у вивченні власних значень і лінійних перетворень.

Визначник матриці порядку 1 — це сам елемент:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix} \implies \det(A) = a_{11} \]

Для квадратної матриці порядку 2 визначник є різницею між добутком елементів головної діагоналі та добутком елементів побічної діагоналі:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[6pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \implies \det(A) = a_{11} \cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12} \]

Наприклад:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\[6pt] 1 & 4 \end{pmatrix} \implies \det(A) = 3 \cdot 4-1 \cdot 2 = 10 \]

Діагональні та трикутні матриці

Для діагональної матриці, тобто квадратної матриці, в якій усі позадіагональні елементи дорівнюють нулю, визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\[6pt] 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\[6pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[6pt] 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \implies \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn} \]

Аналогічний результат справедливий для верхніх і нижніх трикутних матриць. В обох випадках визначник є добутком діагональних елементів, оскільки всі додаткові доданки в розкладі зникають.

Розклад Лапласа

Визначник квадратної матриці порядку \( n \geq 3 \) можна обчислити рекурсивно, використовуючи розклад за алгебраїчними доповненнями, також відомий як розклад Лапласа. Нехай задано квадратну матрицю \( A = (a_{ij}) \) порядку \( n \), тоді мінор \( M_{ij} \) — це визначник підматриці розміру \( (n-1) \times (n-1) \), отриманої шляхом викреслення \( i \)-го рядка та \( j \)-го стовпця матриці \( A \). Алгебраїчне доповнення \( C_{ij} \) визначається як:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \]

Множник знака \( (-1)^{i+j} \) є додатним, коли \( i+j \) парне, і від'ємним, коли \( i+j \) непарне. Визначник \( A \) тоді отримують шляхом розкладу за будь-яким рядком \( i \):

\[ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot C_{ik} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot (-1)^{i+k} \cdot M_{ik} \]

Такий самий результат отримаємо при розкладі за будь-яким стовпцем \( j \):

\[ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{kj} \cdot C_{kj} \]

Наступний приклад ілюструє обчислення для матриці порядку 3. Розглянемо:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\[6pt] 3 & -2 & 0 \\[6pt] 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Розкладаючи за першим рядком, обчислимо внесок алгебраїчного доповнення кожного елемента.

Для \( a_{11} = 2 \) мінор — це визначник підматриці, отриманої шляхом викреслення 1-го рядка та 1-го стовпця:

\[ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 0 \\[6pt] 4 & 1 \end{pmatrix} = (+1) \cdot (-2-0) = -2 \]

Внесок становить \( a_{11} \cdot C_{11} = 2 \cdot (-2) = -4 \).

Для \( a_{12} = 0 \) мінор дорівнює:

\[ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[6pt] 1 & 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot (3-0) = -3 \]

Внесок становить \( a_{12} \cdot C_{12} = 0 \cdot (-3) = 0 \).

Для \( a_{13} = -1 \) мінор дорівнює:

\[ C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & -2 \\[6pt] 1 & 4 \end{pmatrix} = (+1) \cdot (12+2) = 14 \]

Внесок становить \( a_{13} \cdot C_{13} = (-1) \cdot 14 = -14 \).

Додавши три внески, отримаємо:

\[ \det(A) = -4 + 0 + (-14) = -18 \]

Обчислювальна складність розкладу Лапласа зростає факторіально з порядком матриці, що призводить до часової складності \( O(n!) \). З цієї причини метод є непрактичним для великих матриць у чисельних застосуваннях, де перевага надається більш ефективним алгоритмам, таким як LU-розклад.

Правило Саррюса

Для матриць 3-го порядку визначник можна обчислити за допомогою правила Саррюса — прямого мнемонічного методу, еквівалентного розкладанню за Лапласом. Дано матрицю:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[6pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[6pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \]

визначник дорівнює:

\[ \begin{aligned} \det(A) &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\[6pt] &\quad – a_{13} a_{22} a_{31} – a_{11} a_{23} a_{32} – a_{12} a_{21} a_{33} \end{aligned} \]

Три позитивні доданки відповідають добуткам уздовж трьох головних діагоналей (зверху-зліва вниз-направо), а три негативні доданки відповідають добуткам уздовж трьох другорядних діагоналей (зверху-справа вниз-наліво). Зручний спосіб візуалізувати це — дописати перші два стовпці \( A \) праворуч від неї:

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{gray}{a_{11}} & \color{gray}{a_{12}} \\[6pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{gray}{a_{21}} & \color{gray}{a_{22}} \\[6pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{gray}{a_{31}} & \color{gray}{a_{32}} \end{pmatrix} \]

У наступному прикладі застосуємо правило Саррюса до конкретної матриці. Розглянемо:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\[6pt] 0 & 4 & -1 \\[6pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Отримаємо:

\[ \begin{aligned} \det(A) &= (1)(4)(0) + (-2)(-1)(2) + (3)(0)(1) \\[6pt] &\quad – (3)(4)(2) – (1)(-1)(1) – (-2)(0)(0) \\[6pt] &= 0 + 4 + 0 – 24 + 1 + 0 \\[6pt] &= -19 \end{aligned} \]

Правило Саррюса застосовується виключно до матриць 3-го порядку. Воно не узагальнюється для вищих порядків.