Групи
Означення
Група є однією з найфундаментальніших структур в абстрактній алгебрі. Це поняття виникає природним чином, коли виділяють істотні властивості, спільні для багатьох математичних об'єктів: цілих чисел за додаванням, ненульових дійсних чисел за множенням, симетрій геометричної фігури та обернених матриць заданого розміру — всі вони демонструють одну й ту саму абстрактну модель. Розпізнавання цієї спільної структури та її вивчення окремо є центральною ідеєю теорії груп.
Групою називається множина \(G\) разом із бінарною операцією \(\cdot : G \times G \to G\), що задовольняє наступні чотири аксіоми:
- Замкненість: для всіх \(a, b \in G\) елемент \(a \cdot b\) належить до \(G\).
- Асоціативність: для всіх \(a, b, c \in G\) маємо \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
- Нейтральний елемент: існує такий елемент \(e \in G\), що \(a \cdot e = e \cdot a = a\) для всіх \(a \in G\).
- Обернені елементи: для кожного \(a \in G\) існує елемент \(a^{-1} \in G\), такий що \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).
Група \((G, \cdot)\) називається абелевою або комутативною, якщо на додачу \(a \cdot b = b \cdot a\) для всіх \(a, b \in G\).
Нейтральний елемент та обернений до кожного елемента є єдиними. Обидва факти випливають безпосередньо з аксіом і є стандартними початковими результатами в будь-якому викладі теорії груп.
Властивості
Кілька елементарних наслідків випливають безпосередньо з аксіом. Якщо \(a \cdot b = a \cdot c\) для деяких \(a, b, c \in G\), то множення обох частин зліва на \(a^{-1}\) дає \(b = c\); це закон лівого скасування. Закон правого скасування виконується за аналогічним аргументом. Разом вони означають, що рівняння \(a \cdot x = b\) має єдине розв'язання \(x = a^{-1} \cdot b\) у \(G\) для будь-яких заданих \(a, b \in G\). Обернений елемент до добутку задовольняє наступну тотожність:
\[ (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} \]
Ця зміна порядку є наслідком аксіоми асоціативності та іноді називається «властивістю шкарпетки та черевика»: щоб скасувати операцію спочатку одягання шкарпетки, а потім черевика, потрібно спочатку зняти черевик, а потім шкарпетку. Порядок групи \(G\), що позначається \(|G|\), — це потужність відповідної множини. Група з скінченною кількістю елементів називається скінченною групою; в іншому випадку вона є нескінченною.
Алгебраїчна ієрархія
Групи є найпростішими об'єктами в ієрархії алгебраїчних структур.
Група складається з множини, оснащеної однією бінарною операцією, що задовольняє замкненість, асоціативність, існування нейтрального елемента та існування обернених елементів.
Коли вводиться друга операція і вимагається, щоб вона була дистрибутивною відносно першої, отриманою структурою є кільце.
Накладання додаткової умови, що кожен ненульовий елемент має бути обервним за множенням, дає поле. Ці три структури утворюють ланцюг зростаючої жорсткості:
- Група має одну операцію з оберненими елементами.
- Кільце має дві операції, при цьому обернені гарантовані лише для додавання.
- Поле має дві операції, при цьому обернені гарантовані як для додавання, так і для всіх ненульових елементів за множенням.
Цілі числа \(\mathbb{Z}\) утворюють кільце, але не поле. Раціональні числа \(\mathbb{Q}\) утворюють поле. Обидва розширюють структуру групи шляхом додавання другої операції.
Порядок елемента
Порядком елемента \(a\) у групі \(G\) називається найменше додатне ціле число \(n\), таке що \(a^n = e\), де \(e\) — нейтральний елемент, а позначення \(a^n\) означає добуток \(a\) самого на себе \(n\) разів. Якщо такого цілого числа не існує, кажуть, що елемент має нескінченний порядок. Порядок \(a\) позначається \(\mathrm{ord}(a)\).
Як приклад, розглянемо групу \((\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)\). Елемент \(2\) має порядок \(3\), оскільки \(2+2+2 = 6 \equiv 0 \pmod{6}\), і ні \(2\), ні \(2+2 = 4\) не конгруентні \(0\). Елемент \(1\) має порядок \(6\), оскільки потрібно додати \(1\) до самого себе шість разів, щоб отримати \(0\). Натомість у групі \((\mathbb{Z}, +)\) кожен ненульовий елемент має нескінченний порядок, оскільки жодна скінченна сума фіксованого ненульового цілого числа не може дорівнювати \(0\).
Оператор модуля \(a \bmod n\) повертає остачу від ділення \(a\) на \(n\). Наприклад, \(7 \bmod 5 = 2\), оскільки \(7 = 1 \cdot 5 + 2\).
Приклади
Множина \(\mathbb{Z}\) звичайною операцією додавання утворює абелеву групу. Нейтральним елементом є \(0\), а оберненим до цілого числа \(n\) є \(-n\). Це нескінченна група і, мабуть, найприродніший приклад групи в елементарній математиці.
Нехай \(n\) — додатне ціле число. Множина \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = {0, 1, \ldots, n-1}\) з операцією додавання за модулем \(n\) утворює скінченну абелеву групу порядку \(n\). Наприклад, у \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) маємо \(3+4=2\), оскільки \(7 \equiv 2 \pmod{5}\). Нейтральним елементом є \(0\), а оберненим до \(k\) є \(n-k\).
Нехай \(F\) — поле, а \(n\) — додатне ціле число. Множина всіх обернених матриць розміру \(n \times n\) з елементами в \(F\), що позначається \(\mathrm{GL}(n, F)\), утворює групу за операцією множення матриць. Нейтральним елементом є одинична матриця \(I_n\), а оберненим до матриці \(A\) є її обернена матриця \(A^{-1}\). Ця група не є абелевою при \(n \geq 2\), оскільки множення матриць загалом не є комутативним.
Дано множину \({1, 2, \ldots, n}\), перестановка — це бієкція цієї множини в саму себе. Сукупність усіх таких перестановок утворює групу за композицією функцій, що позначається \(S_n\) і називається симетричною групою на \(n\) елементах. Нейтральним елементом є тотожна перестановка, а оберненим до перестановки \(\sigma\) є обернена функція \(\sigma^{-1}\). Група \(S_n\) має порядок \(n!\) і не є абелевою при \(n \geq 3\).
Як конкретну ілюстрацію розглянемо \(S_3\), яка має порядок \(6\). Нехай \(\sigma\) — перестановка, що відображає \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\), а \(\tau\) — перестановка, що відображає \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 3\).
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Щоб обчислити \(\sigma \circ \tau\), спочатку застосовують \(\tau\), а потім \(\sigma\). Елемент \(1\) відображається за допомогою \(\tau\) у \(2\), а потім \(\sigma\) відображає \(2\) у \(3\), отже \(1 \mapsto 3\). Елемент \(2\) відображається за допомогою \(\tau\) у \(1\), а потім \(\sigma\) відображає \(1\) у \(2\), отже \(2 \mapsto 2\). Нарешті, \(3\) залишається незмінним при \(\tau\), а \(\sigma\) відображає \(3\) у \(1\), отже \(3 \mapsto 1\). Таким чином
\[ \sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
Аналогічне обчислення дає
\[ \tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \]
Оскільки \(\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma\), група \(S_3\) дійсно не є абелевою.
Циклічні групи
Група \(G\) називається циклічною, якщо існує елемент \(g \in G\), такий, що кожен елемент \(G\) можна записати як степінь \(g\), тобто:
\[G = {g^n : n \in \mathbb{Z}}\]
Такий елемент \(g\) називається твірником \(G\). Циклічні групи є найпростішим класом груп і повністю класифіковані. Кожна циклічна група ізоморфна або \(\mathbb{Z}\), якщо вона нескінченна, або \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) для деякого додатного цілого \(n\), якщо вона скінченна.
Група \((\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)\) є циклічною з твірником \(1\), оскільки кожен елемент \(0, 1, 2, 3, 4, 5\) можна отримати як кратне \(1\). Елемент \(5\) також є твірником, оскільки повторюване додавання \(5\) за модулем \(6\) дає всі шість остач. Проте елемент \(2\) не є твірником, оскільки кратні \(2\) за модулем \(6\) — це лише \({0, 2, 4}\), які утворюють власну підгрупу \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).
Підгрупи
Підмножина \(H\) групи \(G\) називається підгрупою, якщо \(H\) сама по собі є групою за операцією, що успадкована від \(G\). Замість того щоб окремо перевіряти всі чотири аксіоми групи, можна скористатися наступним критерієм: непустий підмножина \(H \subseteq G\) є підгрупою \(G\) тоді і тільки тоді, коли для всіх \(a, b \in H\) елемент \(a \cdot b^{-1}\) належить до \(H\). Ця умова одночасно кодує замкненість відносно операції та відносно взяття обернених елементів, а наявність нейтрального елемента випливає з припущення \(a = b\). Записують \(H \leq G\), щоб вказати, що \(H\) є підгрупою \(G\).
Кожна група \(G\) має принаймні дві підгрупи: тривіальну підгрупу \({e}\) та саму \(G\). Будь-яка підгрупа, відмінна від \(G\), називається власною підгрупою.
Як приклад, розглянемо множину парних цілих чисел \(2\mathbb{Z} = {\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots}\) як підмножину \((\mathbb{Z}, +)\). Візьмемо будь-які два парних цілих числа \(a = 2m\) та \(b = 2k\), оберненим до \(b\) у \(\mathbb{Z}\) є \(-b = -2k\), отже \(a+(-b) = 2(m-k)\), що знову є парним. Таким чином, критерій підгрупи задоволено, і \(2\mathbb{Z}\) є підгрупою \(\mathbb{Z}\).
Гомоморфізми та ізоморфізми груп
Гомоморфізм груп — це функція між двома групами, яка зберігає структуру групи. Дано дві групи \((G, \cdot)\) та \((H, \star)\), функція \(\varphi : G \to H\) є гомоморфізмом, якщо:
\[ \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \star \varphi(b) \]
для всіх \(a, b \in G\). Ця умова вимагає, щоб застосування \(\varphi\) після виконання операції в \(G\) давало той самий результат, що й спочатку застосування \(\varphi\) до кожного елемента, а потім виконання операції в \(H\). З цього означення випливає кілька основних властивостей. Гомоморфізм \(\varphi : G \to H\) обов'язково відображає нейтральний елемент \(G\) в нейтральний елемент \(H\) та задовольняє рівність \(\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}\) для всіх \(a \in G\).
Двома особливо важливими підмножинами, пов'язаними з гомоморфізмом \(\varphi : G \to H\), є ядро та образ. Ядро визначається як
\[ \ker(\varphi) = {a \in G : \varphi(a) = e_H} \]
де \(e_H\) позначає нейтральний елемент \(H\), а образ визначається як
\[ \mathrm{im}(\varphi) = {\varphi(a) : a \in G} \]
Ядро завжди є підгрупою \(G\), а образ завжди є підгрупою \(H\). Більше того, гомоморфізм є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли його ядро містить лише нейтральний елемент \(G\).
Гомоморфізм \(\varphi : G \to H\), який одночасно є ін'єктивним і сюр'єктивним, називається ізоморфізмом. Якщо між \(G\) та \(H\) існує ізоморфізм, то дві групи називаються ізоморфними, що записується як \(G \cong H\). Ізоморфні групи структурно ідентичні: вони відрізняються лише назвами своїх елементів та їхньою операцією, але не будь-якою властивістю, що є притаманною їхній груповій структурі.
Як приклад, розглянемо групу \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)\) та групу \(({1,-1}, \times)\) за звичайним множенням. Визначимо \(\varphi : \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to {1,-1}\), встановивши \(\varphi(0) = 1\) та \(\varphi(1) = -1\). Оскільки:
\[ \begin{align} \varphi(1+1) &= \varphi(0) \\[6pt] &= 1 \\[6pt] &= (-1)(-1) \\[6pt] &= \varphi(1)\cdot\varphi(1) \end{align} \]
функція \(\varphi\) зберігає групову операцію. Оскільки вона також є бієктивною, вона є ізоморфізмом, і, отже, \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \{1,-1\}\).