Матриці
Вступ
Матриця — це прямокутний масив дійсних чисел, розташованих у рядках і стовпцях. Кажуть, що матриця з \( m \) рядками та \( n \) стовпцями має розмір \( m \times n \), і називають її матрицею \( m \times n \). Наприклад, матриця \( 3 \times 2 \) має 3 рядки та 2 стовпці. Кожне число, що з'являється в матриці, називається елементом. Елементи визначаються двома нижніми індексами: перший вказує на рядок, а другий — на стовпець. Таким чином, \( a_{2,3} \) позначає елемент у другому рядку та третьому стовпці. Матриця \( A \) розміру \( m \times n \) записується наступним чином:
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[6pt] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[6pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[6pt] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]
Це також записується в компактній формі як \( A = (a_{ij}) \), де \( a_{ij} \) позначає елемент у \( i \)-му рядку та \( j \)-му стовпці, при цьому \( 1 \leq i \leq m \) та \( 1 \leq j \leq n \).
Множина всіх матриць \( m \times n \) з дійсними записами утворює абелеву групу за операцією додавання. При обмеженні на квадратні матриці порядку \( n \), додаткова структура множення матриць перетворює \( M_{n\times n}(\mathbb{R}) \) на кільце. Підмножина обернених матриць порядку \( n \) утворює групу за операцією множення, відому як загальна лінійна група \( GL(n, \mathbb{R}) \).
Вектори та нульова матриця
Матриця, що складається з одного рядка, називається вектором-рядком, а матриця, що складається з одного стовпця, називається вектором-стовпцем. Нижче наведено вектор-рядок \( A \) з 3 стовпцями та вектор-стовпець \( B \) з 3 рядками:
\[ A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} b_1 \\[6pt] b_2 \\[6pt] b_3 \end{pmatrix} \]
Матриця, в якій кожен елемент дорівнює нулю, називається нульовою матрицею, що позначається \( O \). Нульова матриця відіграє роль нейтрального елемента за додаванням при додаванні матриць, як розглянуто нижче.
Вектори-рядки та вектори-стовпці є матрицями у звичайному розумінні та підпорядковуються тим самим алгебраїчним правилам. Тут вони розглядаються як особливі випадки для ясності, але вивчаються більш детально в контексті лінійних комбінацій та векторних просторів.
Квадратні матриці та особливі типи
Матриця називається квадратною, коли кількість її рядків дорівнює кількості її стовпців, тобто коли вона має розмір \( n \times n \). Ціле число \( n \) називається порядком матриці. У квадратній матриці елементи \( a_{ij} \), для яких \( i = j \), утворюють головну діагональ. Елементи, для яких \( i + j = n+1 \), утворюють побічну діагональ:
\[ A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\[6pt] a_{21} & \boldsymbol{a_{22}} & a_{23} \\[6pt] a_{31} & a_{32} & \boldsymbol{a_{33}} \end{pmatrix} \]
Квадратна матриця, в якій усі елементи за межами головної діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею. Нижче наведено приклад діагональної матриці \( 3 \times 3 \):
\[ D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 5 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \]
Квадратна матриця називається верхньотрикутною, якщо всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють нулю, і нижньотрикутною, якщо всі елементи вище головної діагоналі дорівнюють нулю:
\[ U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\[6pt] 0 & 5 & 4 \\[6pt] 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \qquad L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[6pt] -2 & 6 & 0 \\[6pt] 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \]
Квадратна матриця \( A \) називається симетричною, якщо вона дорівнює своїй транспонованій матриці, тобто якщо \( A = A^{\mathrm{T}} \). Це означає, що \( a_{ij} = a_{ji} \) для всіх \( i \) та \( j \): елемент у рядку \( i \) та стовпці \( j \) дорівнює елементу в рядку \( j \) та стовпці \( i \). Нижче наведено симетричну матрицю \( 3 \times 3 \):
\[ S = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\[6pt] 3 & 0 & 5 \\[6pt] -2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \]
Симетричні матриці природно виникають у багатьох областях математики, включаючи квадратичні форми, простори з внутрішнім добутком та спектральну теорію. Кожна дійсна симетрична матриця має дійсні власні значення та ортогональний базис власних векторів, результат, відомий як спектральна теорема.
Транспонована матриця
Транспонованою матрицею матриці \( A \) розміром \( m \times n \), що позначається \( A^{\mathrm{T}} \), є матриця розміром \( n \times m \), отримана шляхом перестановки рядків і стовпців \( A \). Формально, елемент у позиції \( (i,j) \) матриці \( A^{\mathrm{T}} \) є елементом у позиції \( (j,i) \) матриці \( A \). Наприклад:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\[6pt] 7 & 5 & 4 \\[6pt] 9 & 6 & 8 \end{pmatrix} \qquad A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 9 \\[6pt] -1 & 5 & 6 \\[6pt] 3 & 4 & 8 \end{pmatrix} \]
Транспонування задовольняє наступні властивості для матриць \( A \) та \( B \) відповідних розмірів і будь-якого скаляра \( k \):
- \( (A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A \)
- \( (A + B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}} \)
- \( (kA)^{\mathrm{T}} = k A^{\mathrm{T}} \)
- \( (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} \)
Тотожність \( (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} \) змінює порядок множників на протилежний. Ця зміна є необхідною, оскільки множення матриць не є комутативним, і це повторюється в кількох інших контекстах, зокрема при знаходженні оберненої матриці до добутку.
Протилежна матриця
Протилежною матрицею до матриці \( A \), що позначається \( -A \), є матриця, отримана шляхом зміни знака кожного елемента \( A \): кожен елемент \( a_{ij} \) стає \( -a_{ij} \). Матриці \( A \) та \( -A \) мають однакові розміри, а їхня сума є нульовою матрицею:
\[ A + (-A) = O \]
Наприклад:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\[6pt] 7 & 5 & 4 \\[6pt] 9 & 6 & 8 \end{pmatrix} \qquad -A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\[6pt] -7 & -5 & -4 \\[6pt] -9 & -6 & -8 \end{pmatrix} \]
Додавання та віднімання матриць
Дві матриці можна додавати або віднімати лише тоді, коли вони мають однакові розміри. Дано дві матриці \( m \times n \), \( A = (a_{ij}) \) та \( B = (b_{ij}) \), їхня сума \( C = A + B \) — це матриця \( m \times n \), визначена як:
\[ c_{ij} = a_{ij}+b_{ij} \]
Тобто кожен елемент \( C \) є сумою відповідних елементів \( A \) та \( B \). Наступний приклад ілюструє обчислення для двох матриць розміром \( 2 \times 3 \):
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\[6pt] 7 & 5 & 4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\[6pt] 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \]
Сума дорівнює:
\[ \begin{aligned} A+B &= \begin{pmatrix} 2+4 & -1+0 & 3+(-2) \\[6pt] 7+1 & 5+3 & 4+6 \end{pmatrix} \\[12pt] &= \begin{pmatrix} 6 & -1 & 1 \\[6pt] 8 & 8 & 10 \end{pmatrix} \end{aligned}\\[20pt] \]
Різниця \( A-B \) визначається як \( A+(-B) \), тобто сума \( A \) та протилежної матриці до \( B \). Додавання матриць задовольняє наступні властивості для будь-яких матриць \( A \), \( B \), \( C \) розміром \( m \times n \):
- Комутативність: \( A+B = B+A \). Порядок, у якому додаються дві матриці, не впливає на результат.
- Асоціативність: \( (A+B)+C = A+(B+C) \). Суми трьох або більше матриць можна обчислювати в будь-якому групуванні.
- Нейтральний елемент додавання: \( A+O = A \), де \( O \) — нульова матриця того ж розміру. Додавання нульової матриці залишає \( A \) незмінною.
- Протилежний елемент: \( A+(-A) = O \). Кожна матриця має єдину протилежну матрицю.
Множення на скаляр
Дано матрицю \( A = (a_{ij}) \) розміром \( m \times n \) та дійсне число \( k \), тоді добуток скаляра на матрицю \( kA \) — це матриця \( m \times n \), чий елемент у позиції \( (i,j) \) дорівнює \( k \cdot a_{ij} \). Кожен елемент матриці множиться на \( k \). Наприклад, при \( k = 2 \):
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\[6pt] 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \qquad 2A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 8 \\[6pt] 0 & 6 & -2 \end{pmatrix} \]
Множення на скаляр задовольняє наступні властивості для матриць \( A \) та \( B \) однакових розмірів і дійсних чисел \( k \) та \( h \):
- Асоціативність: \( k(hA) = (kh)A \). Послідовні множення на скаляри можна об'єднати в одне.
- Дистрибутивність відносно додавання матриць: \( k(A+B) = kA+kB \). Скаляр дистрибується відносно суми матриць.
- Дистрибутивність відносно додавання скалярів: \( (k+h)A = kA+hA \). Сума скалярів дистрибується відносно однієї матриці.
Множення матриць
Множення матриць визначається за умови сумісності: добуток \( AB \) визначений лише тоді, коли кількість стовпців матриці \( A \) дорівнює кількості рядків матриці \( B \). Якщо \( A \) має розмір \( m \times n \), а \( B \) має розмір \( n \times p \), то добуток \( C = AB \) є матрицею розміру \( m \times p \), елемент якої в позиції \( (i,j) \) визначається як:
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} \]
Кожен елемент \( c_{ij} \) обчислюється як скалярний добуток \( i \)-го рядка матриці \( A \) та \( j \)-го стовпця матриці \( B \): відповідні елементи множаться попарно, а результати додаються. У наступному прикладі обчислюється добуток матриці \( A \) розміром \( 2 \times 3 \) та матриці \( B \) розміром \( 3 \times 2 \):
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\[6pt] 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] -1 & 5 \\[6pt] 4 & -3 \end{pmatrix} \]
Елементи \( c_{ij} \) матриці-добутку \( AB \) отримаємо, множачи кожен рядок \( A \) на кожен стовпець \( B \):
\[ \begin{aligned} c_{11} &= (1)(2)+(-2)(-1)+(3)(4) = 16 \\[6pt] c_{12} &= (1)(0)+(-2)(5)+(3)(-3) = -19 \\[6pt] c_{21} &= (0)(2)+(4)(-1)+(-1)(4) = -8 \\[6pt] c_{22} &= (0)(0)+(4)(5)+(-1)(-3) = 23 \end{aligned} \]
Результатом є матриця \( 2 \times 2 \), що відповідає розмірам \( m \times p = 2 \times 2 \).
\[ C = AB = \begin{pmatrix} 16 & -19 \\[6pt] -8 & 23 \end{pmatrix} \]
Множення матриць загалом не є комутативним: навіть якщо обидва добутки \( AB \) та \( BA \) визначені, зазвичай виконується \( AB \neq BA \). Це відрізняє множення матриць від множення дійсних чисел і є однією з його найважливіших властивостей.
Однодинична матриця порядку \( n \), що позначається \( I_n \), — це квадратна матриця розміру \( n \times n \) з одиницями на головній діагоналі та нулями в інших позиціях. Вона відіграє роль нейтрального елемента щодо множення: для будь-якої матриці \( A \) сумісних розмірів,
\[ A \cdot I = I \cdot A = A \]
Наприклад:
\[ \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[6pt] 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[6pt] 1 & -2 \end{pmatrix} \]
Множення матриць задовольняє наступні властивості для матриць сумісних розмірів:
- Асоціативність: \( (AB)C = A(BC) \). Порядок, у якому обчислюються послідовні добутки, не впливає на результат.
- Лівий розподільний закон: \( A(B+C) = AB+AC \). Множення розподіляється зліва щодо додавання.
- Правий розподільний закон: \( (B+C)A = BA+CA \). Множення розподіляється справа щодо додавання.
- Некомутативність: загалом \( AB \neq BA \), навіть якщо обидва добутки визначені.
Кожній квадратній матриці порядку \( n \) ставлять у відповідність дійсне число, яке називають визначником матриці, що позначається \( \det(A) \). Визначник містить фундаментальну інформацію про матрицю, зокрема про те, чи є вона обернею, як обговорюється в розділі про обернену матрицю.