Ранг матриці

Означення

Ранг матриці \( A \), що позначається \( r(A) \) або \( \mathrm{rank}(A) \), — це максимальна кількість лінійно незалежних рядків (або, що еквівалентно, стовпців) матриці \( A \). Для матриці \( A \) розміром \( m \times n \) ранг задовольняє нерівності:

\[ 0 \leq r(A) \leq \min(m,n) \]

Ранг матриці \( A \) дорівнює розмірності образу відповідного лінійного перетворення \( T_A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \), визначеного як \( T_A(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \). Допоміжна величина \( n - r(A) \) є розмірністю ядра \( T_A \), підпростору векторів, що відображаються в нуль. Ці дві величини пов'язані теоремою про ранг і нульність: для будь-якої матриці \( A \in M_{m,n}(\mathbb{R}) \) маємо:

\[ \mathrm{rank}(A) + \mathrm{nullity}(A) = n \]

Ранг є одним із найфундаментальніших інваріантів матриці. Він визначає розв'язність систем лінійних рівнянь за теоремою Руше-Капеллі, а також збігається з умовою \( r(A) = n \) для того, щоб квадратна матриця була оберненою.

Підматриці та мінори

Підматрицею матриці \( A \in M_{m,n}(\mathbb{R}) \) називається будь-яка матриця, отримана шляхом вибору \( k \) рядків і \( h \) стовпців з \( A \) зі збереженням початкового порядку елементів, де \( k \leq m \) та \( h \leq n \). Наприклад, вибір 1-го та 3-го рядків і 1-го, 2-го та 4-го стовпців з матриці \( A \) розміром \( 3 \times 4 \) дає підматрицю розміром \( 2 \times 3 \):

\[ B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\[6pt] a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{pmatrix} \]

Мінором порядку \( p \) матриці \( A \) називається визначник квадратної підматриці розміром \( p \times p \), виділеної з \( A \). Оскільки визначник визначений лише для квадратних матриць, тільки квадратні підматриці дають мінори.

Означення через мінори

Ранг матриці \( A \) — це найбільше ціле число \( r \), таке що принаймні один мінор порядку \( r \) є ненульовим. Еквівалентно, всі мінори порядку \( r+1 \) дорівнюють нулю.

У наступному прикладі обчислимо ранг матриці розміром \( 3 \times 4 \). Розглянемо:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[6pt] 2 & 4 & 6 & 8 \\[6pt] 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Другий рядок точно вдвічі більший за перший, тому будь-який мінор \( 3 \times 3 \), що містить обидва ці рядки, матиме два пропорційні рядки й, отже, буде дорівнювати нулю. Можна перевірити, що всі мінори порядку 3 дорівнюють нулю. Однак підматриця \( 2 \times 2 \), виділена з 1-го та 3-го рядків і 1-го та 2-го стовпців, дає:

\[ \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[6pt] 1 & 0 \end{pmatrix} = 0-2 = -2 \neq 0 \]

Оскільки існує ненульовий мінор порядку 2 і всі мінори порядку 3 дорівнюють нулю, ранг \( A \) дорівнює:

\[ r(A) = 2 \]

Означення через векторні простори

Ранг матриці \( A = (a_{ij}) \in M_{m,n}(\mathbb{R}) \) також можна визначити як спільну розмірність простору рядків і простору стовпців матриці \( A \). Рядки \( A \), розглянуті як вектори \( R_1, R_2, \ldots, R_m \in \mathbb{R}^n \), породжують підпростір \( \mathbb{R}^n \), який називається простором рядків \( A \). Стовпці \( A \), розглянуті як вектори \( C_1, C_2, \ldots, C_n \in \mathbb{R}^m \), породжують підпростір \( \mathbb{R}^m \), який називається простором стовпців \( A \). Фундаментальний результат лінійної алгебри стверджує, що ці два підпростори завжди мають однакову розмірність, яка дорівнює рангу \( A \). Розглянемо матрицю:

\[ A = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 \\[6pt] -1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1 \end{pmatrix} \]

Рядки \( (1, 0, 2) \) та \( (-1, 3, 1) \) не є пропорційними, отже вони лінійно незалежні та породжують підпростір розмірності 2 у \( \mathbb{R}^3 \). Таким чином \( r(A) = 2 \).

Два визначення — через мінори та через векторні простори — є еквівалентними. Визначення на основі мінорів є більш прямим для обчислень, тоді як визначення через векторні простори пов'язує ранг із теорією лінійних комбінацій та розмірністю.

Обчислення рангу за допомогою методу Гаусса

Для матриць великого порядку обчислення всіх мінорів є непрактичним. Стандартним обчислювальним методом є метод Гаусса: зведення \( A \) до ступінчастого вигляду шляхом застосування елементарних операцій над рядками, які не змінюють ранг. Ранг дорівнює кількості ненульових рядків у зведеній матриці. Розглянемо матрицю з попереднього прикладу:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[6pt] 2 & 4 & 6 & 8 \\[6pt] 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Віднімаючи двічі перший рядок від другого та перший рядок від третього:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \]

Переставляючи другий і третій рядки:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[6pt] 0 & -2 & -2 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Ступінчастий вигляд має 2 ненульові рядки, що підтверджує \( r(A) = 2 \).