Розкладання квадратних рівнянь
Вступ
Квадратне рівняння — це тип полінома, який складається з одного або кількох доданків, де кожен доданок є добутком сталої коефіцієнта, змінної в ступені та можливого сталого члена. Розкладання полінома на множники полягає у представленні його як добутку незвідних множників, зазвичай нижчого степеня.
Квадратне рівняння у вигляді \(ax^{2}+bx+c=0 \) може бути розкладене на множники в еквівалентне рівняння, якщо його дискримінант не є від'ємним:
\[a(x-x_1)(x-x_2)=0 \]
де \(x_1\) та \(x_2\) є коренями рівняння.
Демонстрація
Доведення виразу вище є простим. Ми наводимо його тут для повноти.
\[ P(x) = ax^2 + bx + c\]
Ми можемо винести коефіцієнт \(a\) і переписати вираз:
\[P(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]
Вираз стає зрозумілішим завдяки зв'язкам між розв'язаннями рівняння другого степеня та його коефіцієнтами, зокрема, через так звані теореми Вієта:
\[x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a} \] \[x_1+x_2= - \frac{b}{a} \]
Замінюючи значення, ми отримаємо:
\[\begin{align} P(x) &= a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2] \\[1ex] &= a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2) \\[1ex] &= a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1) ]\\[1ex] &= a(x-x_1) (x-x_2) \end{align}\]
Це демонструє вираз \((1)\).
\[P(x)= ax^{2}+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\]
Цей метод розкладання поліномів на множники відомий як метод AC. Розв'язання рівняння можна знайти, прирівнявши кожен множник до нуля:
\[(x-x_1)=0 \to x = x_1\] \[(x-x_2)=0 \to x = x_2\]
Цей метод є ефективним для простих поліноміальних рівнянь. Однак він стає непрактичним для складніших рівнянь. У таких випадках краще використовувати формулу квадратного рівняння.
Приклад
Поліном \(x^2-4x+3\) може бути розкладений на множники у вигляді \((x-1)(x-3)\). Нам потрібно знайти два числа, \(m, n\), добуток яких \(P\) дорівнює \(3\) \((a \cdot c = 1 \cdot 3)\), а сума \(S\) дорівнює \(-4\) \((b)\).
Ми можемо використовувати цю просту схему, щоб знайти числа, що задовольняють наші обмеження. \begin{array}{rrrr} & m & n & P & S \\ \hline & 1 & 3 & 3 & 4 \\ & -1 & -3 & 3 & -4 \\ \end{array}
Другий рядок задовольняє наші обмеження, отже рівняння, пов'язане з поліномом, набуває вигляду: \[x^2-4x+3 = (x-1)(x- 3) = 0\]
Розв'язаннями пов'язаного рівняння є: \[x -1=0 \to x = 1\] \[x -3=0 \to x = 3\]
Розв'язанням рівняння є: \[x_1=1 \quad \text{та} \quad x_2= 3\]