Формули скороченого множення
Вступ
Помітні добутки, також відомі як формули скороченого множення, — це алгебраїчні тотожності, що представляють розклад або розкладання на множники добутків поліномів у закритій формі. Ці тотожності виникають при множенні виразів із впізнаваними структурами, такими як двочлени та тричлени, і дають стандартні форми, що часто зустрічаються в алгебрі. Їхні основні застосування включають алгебраїчне спрощення, розкладання поліномів на множники та розв'язання рівнянь.
Квадрат двочлена
Квадрат двочлена — це добуток, отриманий при множенні двочлена на самого себе. Двома стандартними алгебраїчними тотожностями є:
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Обидві тотожності можна вивести безпосередньо, розкривши добуток:
\[ \begin{align} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\[6pt] &= a^2 + ab + ab + b^2 \\[6pt] &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align} \] Отриманий вираз містить три доданки: квадрат першого доданка, подвоєний добуток двох доданків і квадрат другого доданка. Для \((a-b)^2\) середній доданок є від'ємним, оскільки добуток двох доданків містить знак мінус.
Різниця квадратів
Різниця квадратів — це тотожність, яка розкладає вираз вигляду \(a^2 - b^2\) на множники як добуток суми та різниці двох доданків:
\[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\]
Тотожність можна перевірити, розкривши праву частину:
\[ \begin{align} (a+b)(a-b) &= a(a-b) + b(a-b) \\[6pt] &= a^2 – ab + ab – b^2 \\[6pt] &= a^2 – b^2 \end{align} \]
Куб двочлена
Куб двочлена — це результат множення двочлена на самого себе тричі. Двома тотожностями є:
\[ \begin{align} (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\[6pt] (a-b)^3 &= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \end{align} \]
Обидва випадки є особливими випадками біноміальної теореми при \(n = 3.\)
Сума та різниця кубів двох чисел є тотожностями розкладання на множники:
\[ \begin{align} a^3 + b^3 &= (a+b)(a^2 – ab + b^2) \\[6pt] a^3 – b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \end{align} \]
Обидві тотожності можна перевірити, розкривши праву частину:
\[ \begin{align} (a+b)(a^2-ab+b^2) &= a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3 \\[6pt] &= a^3 + b^3 \end{align} \]
\[ \begin{align} (a-b)(a^2+ab+b^2) &= a^3 + a^2b + ab^2 – a^2b – ab^2 – b^3 \\[6pt] &= a^3 – b^3 \end{align} \]
У розкладанні \((a+b+c)^3\) коефіцієнт \(6\) у доданку \(6abc\) виникає з кількості перестановок трьох різних множників \(a\), \(b\), \(c\), тобто \(3! = 6\). Це приклад мультиноміальної теореми, яка узагальнює біноміальну теорему для сум із більше ніж двох доданків.
Помітні добутки та біноміальна теорема
Квадрат і куб двочлена представляють конкретні випадки біноміальної теореми, яка пропонує загальну формулу для розкладання \((a+b)^n\) для будь-якого цілого неотримального \(n\):
\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\]
Біноміальні коефіцієнти \(\binom{n}{k}\) визначаються як:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Наприклад, коли \(n = 3\), чотирма біноміальними коефіцієнтами є:
\[\binom{3}{0} = 1 \qquad \binom{3}{1} = 3 \qquad \binom{3}{2} = 3 \qquad \binom{3}{3} = 1\]
Підставляючи ці значення в загальну формулу, отримаємо розклад для куба двочлена:
\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Цей результат узгоджується з раніше виведеною тотожністю.
Приклад 1
Розглянемо наступне рівняння:
\[x^3 - 27 = 0\]
Оскільки \(27 = 3^3\), ліва частина є різницею кубів. Застосовуючи тотожність \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) з \(a = x\) та \(b = 3\), розкладемо на множники:
\[(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0\]
Рівняння виконується, коли будь-який із множників дорівнює нулю:
\[ \begin{cases} x – 3 = 0 \\[0.5em] x^2 + 3x + 9 = 0 \end{cases} \]
Перший випадок безпосередньо дає \(x = 3\). Для другого випадку застосовується формула коренів квадратного рівняння:
\[ \begin{align} x &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 36}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} \end{align} \]
Оскільки дискримінант \(\Delta = -27 < 0\), два інші розв'язання є комплексними. Підставляючи \(\sqrt{-27} = 3i\sqrt{3}\), отримаємо:
\[x = \frac{-3 + 3i\sqrt{3}}{2} \qquad x = \frac{-3 - 3i\sqrt{3}}{2}\]
Таким чином, три розв'язання рівняння такі:
\[x = 3 \qquad x = \frac{-3 + 3i\sqrt{3}}{2} \qquad x = \frac{-3 - 3i\sqrt{3}}{2}\]
Для подальшого обговорення того, як дискримінант визначає характер розв'язків, зверніться до розділу про формулу коренів квадратного рівняння.
Отже, застосувавши розклад різниці кубів, ми змогли легко визначити розв'язання рівняння третього степеня, які такими:
\[ x = 3, \quad x = \frac{-3 + 3i\sqrt{3}}{2}, \quad x = \frac{-3 - 3i\sqrt{3}}{2} \]
Сума та різниця n-их степенів
Розклад на множники \(a^n + b^n\) та \(a^n – b^n\) залежить від парності \(n\). Для будь-якого натурального числа \(n\) різниця \(a^n – b^n\) завжди розкладається як:
\[a^n – b^n = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\]
Сума \(a^n + b^n\) розкладається над \(\mathbb{R}\) тільки тоді, коли \(n\) є непарним:
\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 – \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1})\]
Коли \(n\) парне, \(a^n + b^n\) зазвичай не розкладається над \(\mathbb{R}\). Наприклад, \(a^2 + b^2\) та \(a^4 + b^4\) є незвідними над \(\mathbb{R}\), якщо не припускати додаткової структури.
Розклад \(a^n - b^n\) тісно пов'язаний зі структурою \(n\)-их коренів одиниці на комплексній площині. Корені рівняння \(a^n - b^n = 0\) — це саме \(a/b = e^{2\pi i k/n}\) для \(k = 0, 1, \dots, n-1\).
Пов'язана тотожність, відома як тотожність Софі Жермен, стверджує, що:
\[a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)\]
Цей розклад не є очевидним, оскільки, як зауважено вище, суми парних степенів зазвичай не розкладаються над \(\mathbb{R}\). Це стає можливим тут, тому що \(a^4 + 4b^4\) можна переписати, доповівши до повного квадрата:
\[a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2 – (2ab)^2\]
Цей вираз є різницею двох квадратів. Тотожність має важливе застосування в елементарній теорії чисел, зокрема для демонстрації того, що певні цілі числа вигляду \(n^4 + 4^k\) є складеними, тобто вони мають нетривіальний розклад на множники і, отже, не є простими.
Тотожності для \(a^n \pm b^n\) пов'язані з тотожностями Ньютона, які виражають суми степенів \(p_k = a^k + b^k\) через елементарні симетричні поліноми \(e_1 = a+b\) та \(e_2 = ab\). Вони виникають при вивченні симетричних поліномів та теорії Галуа.
Приклад 2
Розглянемо вираз:
\[a^4 + b^4\]
Оскільки \(n = 4\) є парним, \(a^4 + b^4\) не розкладається над \(\mathbb{R}\) за допомогою формули суми n-их степенів, яка застосовується лише для непарних \(n\).
Проте він допускає наступний розклад:
\[a^4 + b^4 = (a^2 + \sqrt{2}\,ab + b^2)(a^2 – \sqrt{2}\,ab + b^2)\]
Розклад можна перевірити, розкривши праву частину:
\[ \begin{align} (a^2 + \sqrt{2}\,ab + b^2)(a^2 - \sqrt{2}\,ab + b^2) &= (a^2 + b^2)^2 - (\sqrt{2}\,ab)^2 \\ &= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2b^2 \\ &= a^4 + b^4 \end{align} \]
Список основних формул скороченого множення
| \[(a + b)^2\] | \[a^2 + 2ab + b^2\] |
| \[(a – b)^2\] | \[a^2 – 2ab + b^2\] |
| \[a^2 – b^2\] | \[(a + b)(a – b)\] |
| \[(a + b)^3\] | \[a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\] |
| \[(a – b)^3\] | \[a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\] |
| \[a^3 + b^3\] | \[(a + b)(a^2 – ab + b^2)\] |
| \[a^3 – b^3\] | \[(a – b)(a^2 + ab + b^2)\] |
| \[a^n + b^n \quad (n \text{ odd})\] | \[(a + b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1})\] |
| \[a^n - b^n\] | \[(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1})\] |
| \[a^{2n} – b^{2n}\] | \[(a^n – b^n)(a^n + b^n)\] |
| \[a^4 – b^4\] | \[(a – b)(a + b)(a^2 + b^2)\] |
| \[a^4 + b^4\] | \[(a^2 + \sqrt{2}\,ab + b^2)(a^2 – \sqrt{2}\,ab + b^2)\] |
| \[(a + b + c)^2\] | \[a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)\] |
| \[(a + b + c)^3\] | \[a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc\] |