Мономи
Означення
Одночлен — це алгебраїчний вираз, що складається з одного доданка. Він записується як добуток числового коефіцієнта та однієї або кількох змінних, кожна з яких піднесена до невивідного цілого показника. Загальний вигляд одночлена має такий вигляд:
\[ a \cdot x_1^{n_1} \cdot x_2^{n_2} \cdot \dots \cdot x_k^{n_k} \]
- \(a \in \mathbb{R}\) — числовий коефіцієнт.
- \(x_1, x_2, \dots, x_k\) — змінні.
- \(n_1, n_2, \dots, n_k \in \mathbb{N}_0\) — показники степеня.
Нульовий одночлен — це особливий випадок, коли \(a = 0\). Він вважається одночленом, але його степінь залишається невизначеним.
Приклади одночленів включають:
- \( 4 \): ненульова дійсна стала (тільки коефіцієнт, без змінних).
- \( -2x \): коефіцієнт \(-2\) та змінна \(x\) з показником \(1\).
- \( 3x^2y \): коефіцієнт \(3\), змінна \(x\) з показником \(2\), змінна \(y\) з показником \(1\).
- \( 0 \): нульовий одночлен.
Одночлен від \(k\) змінних можна розглядати як елемент кільця поліномів \(\mathbb{R}[x_1, \dots, x_k]\), де він відповідає одному доданку вигляду \(a \cdot x_1^{n_1} \cdots x_k^{n_k}\).
Кільце — це алгебраїчна структура з двома операціями, додаванням і множенням, що задовольняють асоціативність, дистрибутивність, а також забезпечення існування нейтрального елемента по додаванню та обернених елементів по додаванню.
Поліном називається однорідним, якщо всі його доданки мають однаковий загальний степінь. Оскільки одночлен складається з одного доданка, кожен одночлен за означенням є однорідним. Одночлени степеня \(d\) від \(k\) змінних утворюють базис для \(\mathbb{R}\)-векторного простору однорідних поліномів степеня \(d\). Наприклад, \(x^2, xy, y^2\) утворюють базис для простору однорідних поліномів степеня \(2\) від двох змінних.
Чому показники в одночлені мають бути невивідними цілими числами
Обмеження, згідно з яким показники мають бути невивідними цілими числами, випливає безпосередньо з означення полінома: кожна змінна повинна з'являтися з показником у \(\mathbb{N}_0\). Це гарантує, що одночлен представляє скінченний добуток змінних без використання ділення або радикалів. Наступні вирази не є одночленами:
\[ 3x^{-1} \qquad 5x^{1/2} \qquad \frac{4}{x} \]
У першому випадку \(x^{-1} = 1/x\), від'ємний показник вводить ділення. У другому \(x^{1/2} = \sqrt{x}\), дробовий показник вводить радикал. Третій випадок, \(4/x = 4x^{-1}\), є просто прихованим від'ємним показником.
Степінь одночлена
Степінь одночлена — це сума показників усіх його змінних. Для одночлена \( ab^2c^3 \) показники дорівнюють \(1\), \(2\) та \(3\), отже його степінь:
\[1 + 2 + 3 = 6\]
Степінь ненульової сталої дорівнює \(0\), оскільки змінні відсутні. Нульовий одночлен не має визначеного степеня.
Частковий степінь одночлена відносно заданої змінної — це показник цієї змінної. Для одночлена \(3x^2y^3\) частковий степінь за \(x\) дорівнює \(2\), а частковий степінь за \(y\) дорівнює \(3\). Загальний степінь — це сума всіх часткових степенів:
\[2 + 3 = 5\]
Загальна кількість одночленів степеня \(d\) від \(k\) змінних може бути визначена за допомогою наступного біноміального коефіцієнта:
\[\binom{d+k-1}{k-1}\]
Наприклад, одночленами степеня \(2\) від \(2\) змінних є \(x^2\), \(xy\) та \(y^2\). Це відповідає: \[\binom{2+2-1}{2-1} = \binom{3}{1} = 3\]
Подібні, протилежні та рівні одночлени
Два одночлени називаються подібними, якщо вони мають однакові змінні частини, тобто ті самі змінні, піднесені до тих самих показників. Наприклад, \( 3x^2y \) та \( -5x^2y \) є подібними одночленами.
Два одночлени вважаються протилежними, якщо вони подібні і сума їхніх коефіцієнтів дорівнює нулю. Наприклад, \( 4xy \) та \( -4xy \) є протилежними одночленами.
Два одночлени називаються рівними, якщо вони мають як однакову змінну частину, так і однаковий коефіцієнт. Формально, два одночлени рівні тоді і тільки тоді, коли вони подібні і їхні коефіцієнти рівні.
Додавання та віднімання одночленів
В алгебрі поліномів додавання або віднімання одночленів регулюється певними правилами. Одночлени можна комбінувати лише тоді, коли їхні змінні та відповідні показники ідентичні. У таких випадках коефіцієнти додаються або віднімаються, тоді як змінні та показники залишаються незмінними. Наприклад:
\[3x + 2x = 5x\]
Для виразу \(3x^2 + 2x\) одночлени не можуть бути комбіновані, оскільки вони мають різні змінні частини.
Добуток одночленів
Одночлени можна перемножити, перемноживши їхні коефіцієнти та додавши показники степенів однакових змінних. Наприклад, добуток \( (3x^2)(2x^3) \) можна обчислити наступним чином:
- Спочатку ми перемножаємо коефіцієнти: \( 3 \times 2 = 6 \)
- Далі ми додаємо показники степенів однакових змінних: \( 2+3 = 5 \)
Таким чином, ми отримаємо:
\[(3x^2)(2x^3) = 6x^{2+3} = 6x^5 \]
Те саме правило застосовується до одночленів з кількома змінними: перемножте коефіцієнти та додайте показники степенів кожної змінної незалежно. Наприклад:
\[(3x^2y)(2xy^3) = 6x^{2+1}y^{1+3} = 6x^3y^4 \]
Добуток одночленів є як комутативним, так і асоціативним, оскільки множення в \(\mathbb{R}[x_1, \dots, x_k]\) успадковує ці властивості від \(\mathbb{R}\). Це означає, що порядок і групування множників не впливають на результат:
\[(3x^2y)(2xy^3) = (2xy^3)(3x^2y) = 6x^3y^4\]
Множина всіх одночленів від \(k\) змінних з коефіцієнтами в \(\mathbb{R}\) є замкненою відносно множення, оскільки добуток будь-яких двох одночленів дає інший одночлен. Відповідно, одночлени утворюють мультиплікативний напівгрупу в кільці поліномів \(\mathbb{R}[x_1, \dots, x_k].\)
Ділення одночленів
Щоб поділити одночлени, поділіть їхні коефіцієнти та відніміть показники степенів однакових змінних. Наприклад:
\[ \frac{6x^5}{2x^2} = 3x^{5-2} = 3x^3 \]
Це правило також застосовується до одночленів з кількома змінними: поділіть коефіцієнти та відніміть показники степенів кожної змінної незалежно. Наприклад:
\[ \frac{6x^3y^2}{2xy} = 3x^{3-1}y^{2-1} = 3x^2y \]
Якщо показник степеня в дільнику більший за показник у діленому, результат матиме від'ємний показник степеня, який можна переписати у вигляді дробу. Наприклад:
\[ \frac{x^2}{3x^3} = \frac{1}{3} x^{2-3} = \frac{1}{3} x^{-1} = \frac{1}{3x} \]
Ділення одночленів є простим, коли основи однакові. Натомість ділення поліномів є складнішим і потребує структурованих методів, таких як ділення стовпчиком або правило Руффіні.
Степені
Коли одночлен підноситься до степеня, показник степеня застосовується до кожного множника: коефіцієнт підноситься до цього степеня, а показники степенів змінних множаться на нього. Для одночлена, піднесеного до натурального степеня \(n\):
\[(a \cdot x_1^{n_1} \cdots x_k^{n_k})^n = a^n \cdot x_1^{n_1 \cdot n} \cdots x_k^{n_k \cdot n}\]
Наприклад:
\[(3x^3)^2 = 3^2 \cdot x^{3 \cdot 2} = 9x^6\]
Те саме правило поширюється на одночлени з кількома змінними:
\[(2x^2y^3)^3 = 2^3 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{3 \cdot 3} = 8x^6y^9\]
Коли \(n = 0\), будь-який ненульовий одночлен у нульовому степені дорівнює \(1\), оскільки \(a^0 = 1\) та \(x_i^{0} = 1\) для всіх \(i\).
НСД та НССП одночленів
Найбільший спільний дільник (НСД) двох або більше одночленів визначається як одночлен із найбільшим коефіцієнтом, який ділить усі задані коефіцієнти, та найменшим показником степеня для кожної змінної, що присутня в усіх одночленах. Натомість найменше спільне кратне (НССП) — це одночлен із найменшим коефіцієнтом, що ділиться на всі задані коефіцієнти, та найбільшим показником степеня для кожної змінної, що присутня в будь-якому з одночленів.
Наприклад, розглянемо одночлени \(12x^3y^2\) та \(8x^2y^4\). НСД коефіцієнтів дорівнює \(\gcd(12, 8) = 4\). Для кожної змінної вибирається мінімальний показник степеня: \(\min(3,2) = 2\) для \(x\) та \(\min(2,4) = 2\) для \(y\). Отже, НСД дорівнює:
\[\gcd(12x^3y^2,\, 8x^2y^4) = 4x^2y^2\]
Для НССП найменше спільне кратне коефіцієнтів дорівнює \(\text{lcm}(12, 8) = 24\). Для кожної змінної вибирається максимальний показник степеня: \(\max(3,2) = 3\) для \(x\) та \(\max(2,4) = 4\) для \(y\). Отже, НССП дорівнює:
\[\text{lcm}(12x^3y^2,\, 8x^2y^4) = 24x^3y^4\]
Змінна, що з'являється лише в одному з одночленів, включається до НССП з її повним показником степеня, але виключається з НСД.