Біноміальна теорема

Формулювання

Біномна теорема стверджує, що для будь-якого натурального числа \(n\) вираз \((a+b)^n\) може бути розкладений у скінченну суму \(n+1\) доданків. Кожен доданок складається з біномного коефіцієнта, помноженого на степінь \(a\) та степінь \(b\): \[(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n \]

Формула складається з наступних елементів:

  • \(n\), показник степеня, є натуральним числом \(n \in \mathbb{N}^+\).
  • \(a\) підноситься до степеня, що зменшується, від \(n\) до \(0\).
  • \(b\) підноситься до степеня, що збільшується, від \(0\) до \(n\).
  • Доданок \(\dbinom{n}{k}\) є біномним коефіцієнтом, де \(k\) набуває значень від \(0\) до \(n\).
Коефіцієнти \(\binom{n}{k}\), що з'являються в розкладі, точно відповідають елементам \(n\)-го рядка трикутника Паскаля. Симетрія \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) відображає той факт, що вибір \(k\) елементів із \(n\) еквівалентний виключенню \(n-k\) елементів.

У компактній формі біномна теорема може бути виражена як сума \( n + 1 \) доданків:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

Біномний коефіцієнт

Біномний коефіцієнт представляє кількість способів вибрати \( k \) елементів із більшої множини з \( n \) елементів, ігноруючи порядок вибору. У комбінаториці його зазвичай називають «n по k» і позначають так:

\[ \binom {n}{k} = \begin{cases} \displaystyle{\frac {n!}{k!(n-k)!}} & 0 \leq k \leq n \\[1em] 0 & \, n < k \end{cases} \]

  • \(n, k \in \mathbb{N}\).
  • \( n \) — загальна кількість елементів у множині.
  • \( k \) — кількість елементів, що мають бути вибрані.
  • \( n! \) та \( (n – k)! \) — факторіали натуральних чисел \( n \) та \( n – k \) відповідно.

Доведення

Існує два стандартних доведення цієї теореми. Перше ґрунтується на комбінаторному аргументі. Розклад \((a+b)^n\) можна розглядати як добуток \(n\) однакових множників:

\[ (a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ множників}} \]

Кожен доданок у розкладеному добутку виникає в результаті вибору або \(a\), або \(b\) з кожного множника. Доданок вигляду \(a^{n-k} b^k\) виникає тоді, коли \(b\) вибирається рівно з \(k\) множників із \(n\), а \(a\) — з решти \(n-k\). Кількість таких виборів дорівнює \(\binom{n}{k}\), що перелічує підмножини з \(k\) елементів із \(n\) множників. Сумування по всіх можливих значеннях \(k\) від \(0\) до \(n\) доводить теорему.

Друге доведення використовує математичну індукцію по \(n\). Для \(n = 1\) тотожність набуває вигляду \((a+b)^1 = a + b\), що є очевидно правильним. Припустимо, що теорема виконується для деякого цілого числа \(n \geq 1\). Множачи обидві частини індукційної гіпотези на \((a+b)\), отримаємо:

\[ \begin{align} (a+b)^{n+1} &= (a+b) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k+1} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1} \end{align} \]

Змінимо індекс другої суми, нехай \(j = k+1\), і відокремимо граничні доданки наступним чином:

\[ = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] a^{n+1-k} b^{k} + b^{n+1} \]

Застосуємо тотожність Паскаля, \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}\), до внутрішніх доданків, щоб отримати:

\[ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k \]

Цей вираз є біномною теоремою для \(n+1\), що завершує індукцію.

Приклад 1

Розкладіть \((x + 2)^4\), використовуючи біномну теорему, де \(a = x\), \(b = 2\) та \(n = 4\).

Застосуємо формулу:

\[ (x + 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} \cdot 2^k \]

Обчислимо кожен доданок:

\[ \begin{align} k = 0 &\quad \binom{4}{0} x^4 \cdot 2^0 = x^4 \\[6pt] k = 1 &\quad \binom{4}{1} x^3 \cdot 2^1 = 8x^3 \\[6pt] k = 2 &\quad \binom{4}{2} x^2 \cdot 2^2 = 24x^2 \\[6pt] k = 3 &\quad \binom{4}{3} x^1 \cdot 2^3 = 32x \\[6pt] k = 4 &\quad \binom{4}{4} x^0 \cdot 2^4 = 16 \end{align} \]

Додавши всі доданки, отримаємо: \[(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\]

Приклад 2

Для бінома, що містить віднімання, теорема про біном застосовується із заміною \(b\) від'ємним значенням. Знаки в розкладанні чергуються, оскільки \((-1)^k\) дає додатне значення для парних \(k\) та від'ємне значення для непарних \(k\). Розкладання \((x - 1)^5\), де \(a = x\), \(b = -1\) та \(n = 5\), має такий вигляд:

\[ (x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} \cdot (-1)^k \]

Кожен член розкладання обчислюється наступним чином:

\[ \begin{align} k = 0 &\quad \binom{5}{0} x^5 \cdot (-1)^0 = x^5 \\[6pt] k = 1 &\quad \binom{5}{1} x^4 \cdot (-1)^1 = -5x^4 \\[6pt] k = 2 &\quad \binom{5}{2} x^3 \cdot (-1)^2 = 10x^3 \\[6pt] k = 3 &\quad \binom{5}{3} x^2 \cdot (-1)^3 = -10x^2 \\[6pt] k = 4 &\quad \binom{5}{4} x^1 \cdot (-1)^4 = 5x \\[6pt] k = 5 &\quad \binom{5}{5} x^0 \cdot (-1)^5 = -1 \end{align} \]

Додавши всі члени, маємо:

\[ (x – 1)^5 = x^5 – 5x^4 + 10x^3 – 10x^2 + 5x – 1 \]

Вибрані ресурси