Інтегрування частинами

Метод інтегрування частинами

Метод інтегрування частинами дозволяє нам переписати інтеграл добутку двох функцій у більш зручній формі. Для невизначених інтегралів формула має вигляд:

\[ \int f(x)g’(x)\, dx = f(x)g(x) - \int f’(x)g(x)\, dx + c \]

Для визначених інтегралів формула розширюється так:

\[ \int_a^b f(x)g’(x)\, dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f’(x)g(x)\, dx \]

де \( \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b = f(b)g(b) - f(a)g(a) \) є граничним членом, який необхідно обчислити.

В обох випадках припускається, що \( f \) та \( g \) є диференційовними на проміжку інтегрування. Метод концептуально простий, але він потребує практики, щоб визначити, яку функцію слід диференціювати, а яку — інтегрувати, щоб спростити вираз.

У деяких випадках інтегрування частинами необхідно застосовувати більше одного разу, щоб повністю обчислити інтеграл. Слід діяти обережно, оскільки повторне застосування може збільшити обсяг обчислень і підвищити ймовірність помилок у знаках.

Виведення формули

Формула інтегрування частинами випливає безпосередньо з правила добутку для похідних. Почнемо з:

\[ \frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) \]

Інтегруючи обидві частини відносно \( x \):

\[ \int \frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)\,dx = \int f’(x)g(x)\,dx + \int f(x)g’(x)\,dx \]

Ліва частина є інтегралом від похідної, що повертає вихідну функцію з точністю до сталої:

\[ f(x)g(x) = \int f’(x)g(x)\,dx + \int f(x)g’(x)\,dx \]

Перегрупуємо, щоб ізолювати другий інтеграл ліворуч:

\[ \int f(x)g’(x)\,dx = f(x)g(x) \,\, - \int f’(x)g(x)\,dx + c \]

Це і є формула інтегрування частинами. У компактному позначенні \( u = f(x) \), \( dv = g’(x)\,dx \), вона набуває знайомого вигляду:

\[ \int u\,dv = uv \,\, – \int v\,du \]

На практиці інтегрування частинами корисне, коли диференціювання одного множника спрощує його, тоді як інший все ще можна інтегрувати без труднощів. Метод часто перетворює складний вираз на більш керований, і в багатьох задачах його можна застосовувати неодноразово, поки інтеграл не зведеться до стандартного вигляду.

Як обрати \(u\) та \(dv\)

Метод є ефективним лише тоді, коли новий інтеграл \( \int v\,du \) простіший за початковий. Це повністю залежить від того, як призначені \( u \) та \( dv \), тому вибір не є довільним. Практична стратегія така:

  • Оберіть \( u \) як множник, який спрощується при диференціюванні.
  • Оберіть \( dv \) як множник, що залишився, так щоб \( v = \int dv \) було легко обчислити.

Корисним порядком вибору \( u \) є ієрархія, відома за акронімом LIATE:

  • Логарифмічні функції
  • Обернені тригонометричні функції
  • Алгебраїчні вирази
  • Тригонометричні функції
  • Показникові функції

Цей порядок відображає поведінку цих функцій при диференціюванні. Логарифмічні та обернені тригонометричні функції значно спрощуються при диференціюванні, що робить їх природними кандидатами на роль \( u \). Показникові функції, навпаки, залишаються по суті незмінними після диференціювання і зазвичай краще призначати як \( dv \).

Вибір \( u \) відповідно до цієї ієрархії часто зменшує складність інтеграла, що залишився, після одного застосування формули

Найпоширеніші помилки

Варто пам'ятати про кілька повторюваних помилок при застосуванні інтегрування частинами.

Необережний вибір \( dv \), зокрема призначення \( dv \) множника, чий інтеграл \( v \) обчислити важче, ніж початковий інтеграл, часто погіршує проблему замість того, щоб її вирішити. Якщо отриманий \( \int v,du \) складніший за той, з якого ви почали, варто переглянути призначення перед продовженням.

У версії формули для визначеного інтеграла граничний член \( uv \big|_a^b \) має бути обчислений явно. Його пропуск є одним із найпоширеніших джерел неправильних результатів, особливо коли обчислення займають кілька рядків і увага переноситься на наступний інтеграл.

Помилки в знаках під час диференціювання особливо підступні в циклічних випадках, де \( \sin(x) \) та \( \cos(x) \) чергуються, і неправильний знак мінус поширюється на весь розрахунок. Відстеження знаків на кожному кроці, а не їх відновлення в кінці, заощаджує значну кількість часу.

Нарешті, у невизначеному випадку стала інтегрування \( C \) повинна з'явитися в кінцевому результаті. Після неодноразового застосування формули її легко втратити з виду, особливо коли проміжні інтеграли записуються без неї. Надійним методом є явне додавання \( C \) лише на останньому кроці та перевірка її наявності перед записом відповіді.

Приклад 1

Розглянемо приклад, обчисливши наступний інтеграл:

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx \]

Підінтегральна функція є добутком логарифмічної функції та степені \( x \). Відповідно до ієрархії LIATE, \( \ln(x) \) має пріоритет і призначається як \( f \), тоді як \( x^2 \) призначається як \( g’ \):

\[ f(x) = \ln(x) \quad \rightarrow \quad f’(x) = \frac{1}{x} \]

\[ g’(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g(x) = \frac{x^3}{3} \]

Застосовуючи формулу, отримаємо:

\[ \begin{align} \int x^2 \ln(x), dx &= \ln(x)\cdot\frac{x^3}{3} – \int \frac{1}{x}\cdot\frac{x^3}{3}\, dx + c \\[6pt] &= \ln(x)\cdot\frac{x^3}{3} – \int \frac{x^2}{3}\, dx + c \end{align} \]

Інтеграл, що залишився, є простим застосуванням степеня, що значно простіше за початковий. Завершуючи обчислення, маємо:

\[ \ln(x)\cdot\frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{9} + c \]

Винесення \( \frac{x^3}{3} \) за дужки дає кінцевий результат у компактній формі:

\[ \frac{x^3}{3}\left(\ln(x) – \frac{1}{3}\right) + c \]

Приклад 2

Деякі інтеграли не розв'язуються після одного застосування інтегрування частинами. Натомість повторне застосування призводить назад до початкового інтеграла; така ситуація, замість того щоб свідчити про невдачу, відкриває шлях до алгебраїчного розв'язання. Наступний приклад ілюструє цю техніку. Обчисліть наступний інтеграл:

\[ \int e^x\sin(x)\,dx \]

Позначимо інтеграл як \( I \):

\[ I = \int e^x\sin(x)\,dx \]

Відповідно до ієрархії LIATE, тригонометрична функція \( \sin(x) \) має пріоритет над експоненціальною, тому ми призначаємо \(u = \sin(x)\), \(dv = e^x\,dx\), звідси:

\[du = \cos(x)\,dx\] \[ v = e^x\]

Застосовуючи формулу, отримаємо:

\[ I = e^x\sin(x) – \int e^x\cos(x)\,dx \]

Новий інтеграл за структурою не простіший за початковий. Він все ще містить добуток \( e^x \) та тригонометричної функції. Ми застосовуємо інтегрування частинами вдруге, позначаючи:

\[ J = \int e^x\cos(x)\,dx \]

і призначаючи, за попереднім вибором, \(u = \cos(x)\) та \(dv = e^x\,dx\). Отримаємо:

\[du = -\sin(x)\,dx\] \[v = e^x\]

Це дає:

\[ J = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\,dx = e^x\cos(x) + I \]

Початковий інтеграл \( I \) з'явився знову. Підставимо це назад у вираз для \( I \):

\[ I = e^x\sin(x) – \bigl(e^x\cos(x) + I\bigr) \]

Обидва входження \( I \) тепер містяться в одному рівнянні. Зберемо їх у лівій частині:

\[ 2I = e^x\sin(x) – e^x\cos(x) \]

Поділивши на \(2\) та додавши сталу інтегрування:

\[ I = \frac{e^x}{2}\bigl(\sin(x) – \cos(x)\bigr) + c \]

Ключовим спостереженням є те, що циклічна структура перетворює, здавалося б, нескінченну рекурсію на лінійне рівняння відносно \( I \), яке можна розв'язати безпосередньо. Ця техніка застосовується щоразу, коли повторне інтегрування частинами повертає початковий інтеграл із ненульовим коефіцієнтом.

Приклад 3

Наступний приклад ілюструє версію формули для визначеного інтеграла. Обчисліть:

\[ \int_0^1 x\ln(x)\, dx \]

Підінтегральна функція є добутком логарифмічної функції та степеня \( x \). Відповідно до ієрархії LIATE, \( \ln(x) \) має пріоритет і призначається як \( f \), тоді як \( x \) призначається як \( g’ \):

\[ f(x) = \ln(x) \quad \rightarrow \quad f’(x) = \frac{1}{x} \]

\[ g’(x) = x \quad \rightarrow \quad g(x) = \frac{x^2}{2} \]

Застосовуючи форму визначеного інтеграла:

\[ \begin{align} \int_0^1 x\ln(x)\, dx &= \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\, dx \\[0.4em] &= \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_0^1 – \frac{1}{2}\int_0^1 x\, dx \end{align} \]

Граничний член потребує уваги при \( x = 0 \). Оскільки \( \ln(1) = 0 \) та \( x^2\ln(x) \to 0 \) при \( x \to 0^+ \), обидва кінцеві значення дорівнюють нулю:

\[ \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_0^1 = 0 \]

Інтеграл, що залишився, є стандартним застосуванням степеня:

\[ \frac{1}{2}\int_0^1 x\, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Отже:

\[ \int_0^1 x\ln(x)\, dx = -\frac{1}{4} \]

Границя \( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0 \) випливає з того факту, що зростання полінома домінує над логарифмічним спаданням біля нуля. Такий аналіз меж є важливим щоразу, коли підінтегральна функція не визначена в одній із кінцевих точок.

Вибрана література