Невизначені інтеграли

Первообразні

Диференціювання за означенням присвоює кожній функції єдину похідну. Обернений процес полягає у визначенні того, чи існує для заданої функції \(f(x)\) така функція \( F(x) \), похідна якої точно дорівнює \( f(x) \). Така функція називається первообразною. Формально, функція \( F(x) \) називається первообразною функції \( f(x) \), визначеної на проміжку \([a, b]\), якщо \( F(x) \) є диференційовною на всьому \([a, b]\) і її похідна дорівнює \( f(x) \), тобто:

\[F’(x) = f(x), \quad \forall x \in [a, b]\]

Не кожна функція має первообразну на заданому проміжку. Достатньою умовою є неперервність: кожна неперервна функція на замкненому проміжку \( [a, b] \) має там первообразну. Обернене твердження в цілому не є вірним.

Якщо ми шукаємо функцію \( F(x) \), похідна якої \( f(x) = 3x^2 \), правила диференціювання дозволяють нам визначити, що такою функцією є \(x^3\). Дійсно, похідна від \( x^3 \) дорівнює: \[\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2 \]

що підтверджує, що \( x^3 \) є первообразною \( f(x) = 3x^2 \).

Ми бачили, що якщо функція \( f(x) \) є диференційовною, вона має єдину похідну \( f’(x) \). Однак у випадку з первообразними, первообразна функції не є єдиною. Для заданої функції \( f(x) \) будь-які дві первообразні \( F_1(x) \) та \( F_2(x) \) відрізняються на сталу, що означає:

\[F_2(x) = F_1(x) + c \]

де \( c \) — довільна стала. Це випливає з того факту, що похідна від сталої дорівнює нулю: \[\frac{d}{dx} c = 0 \]

У попередньому прикладі \( 3x^2 \) є похідною від \( x^3 \), але вона також є похідною від \( x^3 + 5 \) та \( x^3 – 1/2 \). Це означає, що для нашої функції існує безліч первообразних \( F(x) \).

Якщо функція \( f(x) \) має первообразну \( F(x) \), то вона має безліч первообразних вигляду \( F(x) + c \), де \( c \) — будь-яке дійсне число \( c \in \mathbb{R} \): \[D[F(x) + C] = F’(x) = f(x), \quad \forall C \in \mathbb{R} \]

З іншого боку, якщо дві функції \( F_1(x) \) та \( F_2(x) \) є первообразними однієї і тієї ж функції \( f(x) \), то вони відрізняються на сталу. \[D[F_1(x) – F_2(x)] = F_1’(x) – F_2’(x) = f(x) – f(x) = 0 \]

Що таке невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом функції \( f(x) \) називається множина всіх її первообразних, що виражається як \( F(x) + c \), де \( c \) — довільне дійсне число. Його позначають як:

\[\int f(x) dx = F(x) + c \quad c \in \mathbb{R} \]

З попереднього означення випливає, що:

\[D\left[ \int f(x) dx \right] = f(x)\]

Цей результат відображає фундаментальну властивість невизначеного інтеграла: оператор \( D\left[\int \cdot \, dx\right] \) діє як тотожний на інтегруюваних функціях, повертаючи вихідну функцію \( f(x) \). Цей зв'язок точно встановлено в Основній теоремі інтегрального числення, яка встановлює формальний зв'язок між диференціюванням та інтегруванням.

Приклад 1

Знайти первообразну \( 3x \), яка проходить через точку \( (2,1) \). Першим кроком є пошук загального вигляду первообразної \( f(x) = 3x \), яку ми отримаємо шляхом інтегрування:

\[F(x) = \int 3x dx = \frac{3}{2}x^2 + c\]

Щоб знайти конкретну первообразну, що проходить через точку \( (2,1) \), ми накладаємо умову \(F(2) = 1\). Підставляючи \( x = 2 \) у рівняння, ми отримаємо:

\[ \begin{align} \frac{3}{2} (2)^2 + c &= 1 \\[0.5em] \frac{3}{2} \cdot 4 + c &= 1 \\[0.5em] 6 + c &= 1 \\[0.5em] c &= -5 \end{align} \]

Таким чином, єдина первообразна, що задовольняє задану умову: \[F(x) = \frac{3}{2}x^2 – 5.\]

Властивості лінійності

Інтеграл є лінійним оператором, що означає, що він задовольняє наступні властивості лінійності. Невизначений інтеграл від суми інтегруюваних функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від окремих функцій. Власне, маємо: \[\int \left[ f(x) + g(x) \right] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \tag{1}\]

Інтеграл від добутку сталої та інтегруюваної функції дорівнює добутку цієї сталої та інтеграла від функції. Маємо: \[\int k f(x) dx = k \int f(x) dx, \quad \forall k \in \mathbb{R} \tag{2}\]

Приклад 2

Розглянемо функцію: \(f(x) = 3x^2 + 2x\). Застосовуючи рівняння \(1\), розіб'ємо інтеграл:

\[\int (3x^2 + 2x) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx\]

Тепер обчислимо кожен інтеграл окремо:

\[\int 3x^2 dx = x^3 + c_1\] \[\quad \int 2x dx = x^2 + c_2\]

Отримаємо \(x^3 + x^2 + c\), де \( c = c_1 + c_2 \) — довільна стала.

Приклад 3

Розглянемо функцію: \( f(x) = 5\sin(x) \). Застосовуючи рівняння \(2\), маємо:

\[\int 5\sin(x) dx = 5 \int \sin(x) dx\]

Таким чином, ми отримаємо \(-5\cos(x)+c\).

Інтеграл степеневої функції

Тепер розглянемо, як обчислити інтеграл степеневої функції вигляду \( x^a \) з \( a \in \mathbb{R} \). Загалом можна використовувати наступну формулу: \[\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + c, \quad \text{для } a \in \mathbb{R}, \quad a \neq -1 \]

Приклад 4

Розв'яжемо наступний інтеграл:

\[\int (3x^4 + 5x^2) dx\]

Використовуючи властивості, згадані вище, отримаємо: \[ 3 \int x^4 dx + 5 \int x^2 dx\]

Ми розбили інтеграл від суми на суму двох інтегралів і винесли стали за знак інтеграла. Тепер обчислимо інтеграл від степеневої функції. Отримаємо:

\[\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + c1, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + c2\]

Множачи на стали:

\[3 \cdot \frac{x^5}{5} + 5 \cdot \frac{x^3}{3} + c\]

Таким чином, ми отримуємо кінцевий результат: \[\frac{3}{5} x^5 + \frac{5}{3} x^3 + c\]

Приклад 5

Обчислите наступний інтеграл:

\[ \int \left( 4x^3 - \frac{3}{\sqrt{x}} + 2\cos x \right) dx \]

Підінтегральна функція об'єднує три доданки принципово різного характеру: поліноміальний доданок, доданок зі степеневим показником \( x \) у вигляді дробу та тригонометричний доданок. Замість пошуку одного правила, що охоплює всі три одночасно, ми застосовуємо лінійність, щоб розкласти задачу на три незалежних інтеграли, кожен з яких відповідає відомому шаблону:

\[ \int 4x^3\, dx - \int 3x^{-1/2}\, dx + \int 2\cos x\, dx \]

Перший доданок не викликає труднощів. Правило степеня, застосоване до \( x^3 \), дає:

\[ \int 4x^3, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \]

Другий доданок менш очевидний, але стає простим, як тільки ми перепишемо \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) як \( x^{-1/2} \). При \( a = -\frac{1}{2} \), правило степеня дає:

\[ \int 3x^{-1/2}\, dx = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 6\sqrt{x} \]

Зауважимо, що \( a = -\frac{1}{2} \neq -1 \), тому логарифмічний випадок не виникає, і правило степеня застосовується без винятків.

Для третього доданка стандартний інтеграл від косинуса дає безпосередньо:

\[ \int 2\cos x\, dx = 2\sin x \]

Збираючи три складові:

\[ \int \left( 4x^3 - \frac{3}{\sqrt{x}} + 2\cos x \right) dx = x^4 - 6\sqrt{x} + 2\sin x + c \]

Три окремі стали інтегрування об'єднуються в одне довільне дійсне число \( c \in \mathbb{R} \), як і очікується з загальної теорії первісних. Результат можна перевірити шляхом диференціювання: застосування \( \frac{d}{dx} \) до \( x^4 – 6\sqrt{x} + 2\sin x + c \) повертає почленно початкову підінтегральну функцію, що підтверджує правильність обчислень.

Логарифмічний інтеграл

Коли показник степеня \( x \) дорівнює \( -1 \), інтеграл набуває іншої форми. Замість застосування правила степеня ми використовуємо логарифмічний інтеграл: \[\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + c \] Насправді стандартна формула інтегрування степеневої функції така: \[\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + c\] Однак, коли \( a = -1 \), знаменник у дробі стає рівним нулю: \[\frac{x^0}{0} = \frac{1}{0} \] Оскільки ділення на нуль не визначене, цей підхід не застосовується. Замість цього, для \( a = -1\), правильним інтегралом є \(\ln |x| + c\). Цей результат випливає з того, що похідна від \( \ln |x| \) є саме \( 1/x \), що робить її відповідною первісною у цьому особливому випадку.

Фундаментальні правила інтегрування
Лінійність \[ \int \left( f(x) + g(x)\right)\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx \]
Лінійність \[ \int k\, f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx \]
Правило степеня \[ \int x^a\, dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + c \quad a \neq -1 \]
Логарифмічний випадок \[ \int \dfrac{1}{x} \,dx = \ln|x| + c \]

Поширені інтеграли

Нижче наведено підсумок найпоширеніших базових інтегралів, корисних у математичному аналізі та для перетворення складних виразів у простіші, відомі форми.

Ці тотожності виконуються на будь-якому проміжку, де підінтегральна функція визначена та неперервна.

Вибрана література