Інтервали
Означення
Інтервал — це підмножина дійсної прямої, що має таку властивість: якщо дві точки належать їй, то кожна точка, що лежить між ними, також належить їй. Точніше, підмножина \( I \subseteq \mathbb{R} \) є інтервалом тоді і тільки тоді, коли для кожної пари точок \( a, b \in I \) при \( a < b \) вся множина \( {x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b} \) міститься в \( I \). Ця властивість, відома як опуклість на дійсній прямій, відрізняє інтервали від довільних підмножин \( \mathbb{R} \), таких як скінченні множини або об'єднання роз'єднаних частин.
Інтервали є одними з найфундаментальніших об'єктів у математичному аналізі. Вони природно виникають як області визначення функцій, як області інтегрування, як множини, на яких вивчаються неперервність та диференційовність, а також як базові елементи для опису складніших підмножин дійсної прямої.
Інтервали класифікують залежно від того, чи включені або виключені їхні кінцеві точки, а також залежно від того, чи є вони обмеженими, чи простягаються нескінченно в одному або обох напрямках.
Обмежені інтервали
Обмеженим називається інтервал, який міститься в скінченній частині дійсної прямої, тобто такий, для якого існують дійсні числа \( a \) та \( b \) при \( a \leq b \), такі що інтервал є підмножиною \( [a, b] \).
Відкритим інтервалом з кінцями \( a \) та \( b \) є множина всіх дійсних чисел, що лежать строго між \( a \) та \( b \), виключаючи обидві кінцеві точки. Він визначається наступним чином: \[ (a, b) = {x \in \mathbb{R} : a < x < b} \]
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Замкненим інтервалом з кінцями \( a \) та \( b \) є множина всіх дійсних чисел між \( a \) та \( b \), включаючи обидві кінцеві точки. Він визначається наступним чином: \[ [a, b] = {x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b} \]
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Два напіввідкриті інтервали з кінцями \( a \) та \( b \) включають одну кінцеву точку і виключають іншу. Вони визначаються наступним чином: \[ [a, b) = {x \in \mathbb{R} : a \leq x < b} \]
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
\[ (a, b] = {x \in \mathbb{R} : a < x \leq b} \]
| \[ a\] | \[ b\] | ||
|---|---|---|---|
Виродженим інтервалом є особливий випадок \( [a, a] = \{a\} \), який містить рівно одну точку. Він задовольняє означенню інтервалу тривіально, оскільки не існує двох різних точок, між якими могли б вимагатися додаткові точки.
Необмежені проміжки
Необмежений проміжок продовжується нескінченно принаймні в одному напрямку. Оскільки нескінченність не є дійсним числом, символи \( +\infty \) та \( -\infty \) використовуються суто як нотаційні умовності, щоб вказати, що проміжок не має скінченної межі у відповідному напрямку. Відповідно, кінцеві точки \( +\infty \) та \( -\infty \) завжди виключені, а відповідна дужка завжди є круглою. Чотири необмежені проміжки визначаються наступним чином. \[ [a, +\infty) = {x \in \mathbb{R} : x \geq a} \]
| \[ a\] | ||
|---|---|---|
\[ (a, +\infty) = {x \in \mathbb{R} : x > a} \]
| \[ a\] | ||
|---|---|---|
\[ (-\infty, b] = {x \in \mathbb{R} : x \leq b} \]
| \[ b\] | ||
|---|---|---|
\[ (-\infty, b) = {x \in \mathbb{R} : x < b} \]
| \[ b\] | ||
|---|---|---|
Нарешті, вся дійсна пряма сама по собі є проміжком, що позначається \( (-\infty, +\infty) = \mathbb{R} \), який містить кожне дійсне число і не має жодних обмежень.
Операції над проміжками
Дано два проміжки, можна утворити нові множини, комбінуючи їх за допомогою стандартних множинних операцій перетину та об'єднання. Перетин \( I \cap J \) — це множина всіх точок, що належать обом проміжкам одночасно. Перетин двох проміжків завжди є проміжком, можливо, порожнім або виродженим. Розглянемо, наприклад, \( I = (1, 5) \) та \( J = (3, 7) \). Значення, що належать обом, — це саме ті, що знаходяться в \( (3, 5) \).
| \[ 1\] | \[ 3\] | \[ 5\] | \[ 7\] | ||
|---|---|---|---|---|---|
Третій рядок показує перетин \( (3, 5) \), який є спільною частиною обох проміжків.
Об'єднання \( I \cup J \) — це множина всіх точок, що належать принаймні одному з двох проміжків. На відміну від перетину, об'єднання двох проміжків не завжди є проміжком: воно є проміжком тоді і тільки тоді, коли два проміжки перекриваються або мають спільну кінцеву точку. Розглянемо той самий приклад, \( I = (1, 5) \) та \( J = (3, 7) \). Оскільки два проміжки перекриваються, їхнє об'єднання є проміжком \( (1, 7) \).
| \[ 1\] | \[ 3\] | \[ 5\] | \[ 7\] | ||
|---|---|---|---|---|---|
Третій рядок показує об'єднання \( (1, 7) \). Натомість, об'єднання \( (1, 3) \cup (5, 7) \) не є проміжком, тому що точки між \( 3 \) та \( 5 \) не належать жодній із множин.
Інтервали та околи
Поняття, що тісно пов'язане з інтервалами та є центральним для математичного аналізу, — це поняття околу точки. Дано точку \( x_0 \in \mathbb{R} \) та дійсне число \( \varepsilon > 0 \), тоді відкритий інтервал:
\[ (x_0 - \varepsilon,\, x_0 + \varepsilon) \]
називається \( \varepsilon \)-околом \( x_0 \), або просто околом \( x_0 \). Він складається з усіх точок, відстань від яких до \( x_0 \) строго менша за \( \varepsilon \), тобто з усіх \( x \), що задовольняють нерівність \( |x-x_0| < \varepsilon \), де \( |\cdot| \) позначає абсолютне значення.
| \[ x_0 – \varepsilon\] | \[ x_0\] | \[ x_0 + \varepsilon\] | ||
|---|---|---|---|---|
Околи забезпечують мову, якою природно виражаються означення границі, неперервності та диференційовності. Функція \( f \) є неперервною в точці \( x_0 \), якщо для кожного околу \( f(x_0) \) існує окіл \( x_0 \), образ якого під дією \( f \) міститься в попередньому. Це формулювання еквівалентне класичному \( \varepsilon \)-\( \delta \) означенню і робить роль інтервалів явною.
Точка \( x_0 \) називається внутрішньою для множини \( S \subseteq \mathbb{R} \), якщо деякий окіл \( x_0 \) повністю міститься в \( S \). Кожна точка відкритого інтервалу є внутрішньою для нього, що є однією з причин, чому відкриті інтервали відіграють особливу роль в аналізі. Натомість кінцеві точки замкненого інтервалу не є внутрішніми точками: кожен окіл кінцевої точки містить точки поза інтервалом.
Довжина інтервалу
Довжина обмеженого інтервалу з кінцевими точками \( a \) та \( b \) визначається як \( b – a \), незалежно від того, чи включені кінцеві точки, чи виключені. Тобто, чотири інтервали \( (a, b) \), \( [a, b) \), \( (a, b] \) та \( [a, b] \) мають однакову довжину, що задається наступним виразом: \[ \ell(I) = b-a \] Це відображає той факт, що одна точка не має протяжності: додавання або видалення скінченної кількості точок з інтервалу не змінює його довжини. Вироджений інтервал \( [a, a] \) має довжину \( \ell([a,a]) = 0 \), що узгоджується з цим зауваженням. Необмежені інтервали мають нескінченну довжину в тому сенсі, що для будь-якого \( M > 0 \) існують точки в інтервалі, відстань між якими перевищує \( M \), тому жодне скінченне значення не може бути призначене як їхня довжина.
Це поняття довжини є відправною точкою для теорії міри на дійсній прямій, яка приписує узагальнене поняття розміру довільним підмножинам \( \mathbb{R} \). Міра інтервалу \( [a, b] \) збігається з його довжиною \( b - a \), а розширення цього призначення на складніші множини через поняття зовнішньої міри та вимірюваності формує основу інтеграла Лебега.
Характеристика інтервалів
Підмножина дійсної прямої називається зв'язною, якщо її не можна представити як об'єднання двох розрізних непорожніх відкритих множин. Наступна теорема дає повну характеристику інтервалів за допомогою цієї властивості. Підмножина \( S \subseteq \mathbb{R} \) є інтервалом тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.
Цей результат уточнює інтуїтивну ідею про те, що інтервал — це частина дійсної прямої без розривів. Умова зв'язності виключає такі множини, як \( (1, 2) \cup (3, 4) \), які не є інтервалами саме тому, що їх можна розділити на дві розрізні відкриті частини.
| \[ 1\] | \[ 2\] | \[ 3\] | \[ 4\] | ||
|---|---|---|---|---|---|
Два інтервали займають окремі, що не перетинаються частини дійсної прямої і не можуть бути об'єднані в один зв'язний шматок, що підтверджує, що їхнє об'єднання не є інтервалом.