Інтеграл раціональних функцій

Інтегрування раціональних функцій за допомогою ділення поліномів

Розглянемо, як ми можемо обчислити інтеграл раціональних функцій вигляду:

\[\int \frac{N(x)}{D(x)} \, dx \]

де \( N(x) \) та \( D(x) \) є поліномами. При розв'язанні інтегралів такого типу ми можемо зіткнутися з різними сценаріями. Розглянемо випадок, коли ступінь \( N(x) \) більший за ступінь \( D(x) \).

З властивостей поліномів відомо, що завжди можливо виконати ділення полінома \( P(x) \) на інший поліном \( D(x) \). Це ділення дає:

  • Частку ділення — поліном \( Q(x) \).
  • Остачу — поліном \( R(x) \), де ступінь \( R(x) \) суворо менший за ступінь \( D(x) \).

Цей процес дозволяє нам отримати поліном у вигляді: \[N(x) = Q(x) D(x) + R(x) \]

Поділивши обидві частини на \(D(x)\), ми отримаємо: \[\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)} \]

Якщо ми обчислимо інтеграл, ми отримаємо: \[\int\frac{N(x)}{D(x)}\,dx = \int Q(x)\,dx + \int \frac{R(x)}{D(x)}\,dx \]

Вибір методу залежить від порівняння ступенів чисельника та знаменника. Якщо \(\deg N(x) \geq \deg D(x)\), раціональна функція є неправильною і спочатку має бути зведена за допомогою ділення поліномів «куточком». Тільки після цього попереднього кроку інтеграл набуває зручної форми.

Якщо натомість \(\deg N(x) < \deg D(x)\), раціональна функція вже є правильною, і увага переноситься на розклад знаменника на множники. Його алгебраїчна структура визначає техніку розв'язання:

  • коли знаменник є одним лінійним множником, проста заміна зазвичай дозволяє одразу обчислити інтеграл;
  • коли він розкладається на різні лінійні множники, розклад на елементарні дроби перетворює вираз на суму елементарних доданків;
  • коли лінійний множник повторюється, кожна степінь цього множника створює власний доданок у розкладі, формуючи ієрархію дробів;
  • коли присутній незвідний квадратний множник, шлях лежить через виділення повного квадрата і природно призводить до члена з арктангансом.

Після того як раціональна функція була зведена до правильного вигляду, знаменник визначає всю стратегію. Його розклад на множники над дійсними числами визначає структуру розкладу на елементарні дроби. Інтегрування тоді стає систематичним зведенням до логарифмічних та обернено-тригонометричних примітивів.

Приклад 1

Обчислимо інтеграл раціональної функції:

\[\int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} \, dx\]

Спочатку виконаємо ділення чисельника на знаменник, отримуючи:

\[ \begin{array}{lll|ll} +x^3 &+x &+1 &+x^2 &+1 \\ -x^3 &-x & &+x &\\ \text{//} & \text{//} & +1 \\ \end{array} \]

З ділення ми отримуємо: \[Q(x) = x \quad R(x) = 1\]

Щоб дізнатися більше про метод ділення двох поліномів, зверніться до відповідного розділу про поліноми.

Ми можемо переписати наш інтеграл як:

\[\int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} \, dx = \int x \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\]

Розв'язавши інтеграл, ми отримаємо:

\[\frac{x^2}{2} + \arctan(x) + c\]

Інтеграли з лінійними знаменниками

У випадку, коли ступінь \( N(x) \) менший за ступінь \( D(x) \), а знаменник є першого ступеня, ми маємо інтеграли вигляду:

\[\int \frac{c}{ax + b} \, dx \]

Ці інтеграли можна розв'язати за допомогою заміни змінної.

Приклад 2

Обчислимо інтеграл раціональної функції:

\[\int \frac{2}{6x+1} \,dx \]

Застосуємо заміну \( t = 6x + 1 \). Тоді маємо:

\[\frac{dt}{dx} = 6 \rightarrow dx = \frac{dt}{6}\]

Підставивши ці значення в інтеграл, отримаємо:

\[ \int \frac{2}{6x + 1} \, dx = \int \frac{2}{t} \cdot \frac{dt}{6} = \frac{2}{6} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} \, dt \]

Тепер ми можемо інтегрувати відносно \( t \). Маємо:

\[\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{3} \cdot \ln | t | + c\]

Підставивши початкове значення \( t \), отримаємо: \[ \frac{1}{3} \ln | 6x + 1 | + c \]

Розклад на прості частки

У багатьох ситуаціях інтеграл від раціональної функції не може бути обчислений безпосередньо шляхом огляду. Навіть коли вираз здається відносно простим, алгебраїчні перетворення можуть не виявити негайного первісного. У таких випадках метод розкладу на прості частки забезпечує систематичний спосіб переписати функцію як суму елементарних доданків, інтеграли від яких добре відомі. Розкладаючи раціональну функцію на простіші компоненти, ми отримуємо представлення, яке набагато більше підходить для інтегрування. Щоб проілюструвати цю ідею на прикладі, відмінному від попередніх, розглянемо інтеграл:

\[ \int \frac{7x + 5}{(x – 1)(3x + 2)} \, dx \]

На перший погляд, структура цього виразу не підказує очевидного первісного. Однак, як тільки ми розкладемо підінтегральний вираз на прості частки, обчислення стануть простими. Почнемо з запису

\[ \tag{1} \frac{7x + 5}{(x - 1)(3x + 2)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{B}{3x + 2} \]

Множення обох частин на \((x - 1)(3x + 2)\) дає тотожність:

\[ 7x + 5 = A(3x + 2) + B(x - 1) \]

що дозволяє нам визначити коефіцієнти \(A\) та \(B\). Обчислюючи при зручних значеннях \(x = 1\) та \(x = -2/3\), ми отримаємо:

\[ A = 4 \qquad B = -5 \]

Таким чином, підставивши отримані значення в тотожність \(1\), ми отримаємо:

\[ \frac{7x + 5}{(x - 1)(3x + 2)} = \frac{4}{x – 1} – \frac{5}{3x + 2} \]

На цьому етапі інтеграл набуває вигляду:

\[ \int \left( \frac{4}{x – 1} – \frac{5}{3x + 2} \right) dx \]

і за лінійністю інтеграла ми можемо розглядати кожен доданок окремо:

\[ 4 \int \frac{1}{x – 1} \, dx \] \[ 5 \int \frac{1}{3x + 2} \, dx \]

Обидва інтеграли зводяться до елементарних логарифмічних форм:

\[ 4 \ln|x - 1| + c_1 \] \[ \frac{5}{3} \ln|3x + 2| + c_2 \]

Об'єднавши сталі та спростивши, ми отримаємо первісну:

\[ 4 \ln|x – 1| -\frac{5}{3} \ln|3x + 2| + c \]

Цей приклад показує, як раціональна функція, яка спочатку не має чікого шляху до інтегрування, стає цілком доступною після переписування у вигляді простих часток. Метод перетворює інтеграл на сукупність стандартних форм, роблячи обчислення як систематичними, так і прозорими.

Незвідні квадратичні множники в знаменнику

Не кожен поліном розкладається на лінійні множники над дійсними числами. Квадратичний вираз \(ax^2 + bx + c\), чий дискримінант задовольняє умову \(b^2 – 4ac < 0\), не має дійсних коренів. Конкретно це означає, що його не можна записати як \((x – r_1)(x – r_2)\) з \(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\).

Над дійсним полем такий квадратний тричлен називається незвідним. Коли множник такого типу з'являється в знаменнику раціональної функції, стратегія розкладу на прості частки дещо змінюється. У лінійному випадку кожен множник \((x – r)\) дає доданок вигляду:

\[\frac{A}{x - r}\]

Тут немає дійсних коренів, до яких можна було б прив'язати такі доданки. Тому квадратичний вираз має залишитися цілим у знаменнику. З цієї причини незвідний квадратичний множник \(ax^2 + bx + c\) дає доданок вигляду:

\[\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}\]

Чисельник повинен мати степінь строго меншу за степінь знаменника, і у квадратичному випадку це означає перший степінь. Використання лише сталої не забезпечило б достатньої гнучкості для відповідності вихідній раціональній функції. Після завершення розкладу інтегрування зазвичай відбувається шляхом переписування квадратичного знаменника через виділення повного квадрата. Після відповідної заміни змінної отримують вираз типу:

\[\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du\]

первісна якого дорівнює

\[\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + c\]

Поява арктангенса відображає геометричну структуру, закладену у виразі \(u^2 + a^2\), який не може перетворитися на нуль над дійсними числами і аналітично відповідає похідній оберненої тангенс-функції.

Приклад 3

Розглянемо наступний інтеграл:

\[\int \frac{5x^2 + 3x - 2}{(x + 1)(x^2 + 2x + 3)} \, dx\]

Знаменник уже представлений у вигляді добутку. Один множник, \(x + 1\), є лінійним. Інший, \(x^2 + 2x + 3\), потребує детальнішого розгляду. Його дискримінант дорівнює:

\[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0\]

отже, він не має дійсних нулів і є незвідним над \(\mathbb{R}\). Це відразу визначає вигляд розкладу на елементарні дроби:

\[\frac{5x^2 + 3x - 2}{(x + 1)(x^2 + 2x + 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3}\]

Тепер позбудемося знаменників, помноживши обидві частини на \((x + 1)(x^2 + 2x + 3)\). Це дає тотожність:

\[5x^2 + 3x - 2 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x + 1)\]

Зручним першим кроком буде обчислення при \(x = -1\). При цьому значенні другий доданок зникає, і ми отримаємо:

\[5(-1)^2 + 3(-1) - 2 = A\bigl((-1)^2 + 2(-1) + 3\bigr)\]

Ліва частина спрощується до \(5 - 3 - 2 = 0\), тоді як права частина стає \(A(1 - 2 + 3) = 2A\). Звідси \(0 = 2A\), отже:

\[A = 0\]

При \(A = 0\) тотожність зводиться до:

\[5x^2 + 3x - 2 = (Bx + C)(x + 1)\]

Розкриття дужок у правій частині дає:

\[(Bx + C)(x + 1) = Bx^2 + (B + C)x + C\]

Порівнюючи коефіцієнти членів, ми знайдемо:

\[B = 5 \qquad B + C = 3\]

З другого співвідношення випливає, що \(C = -2\). Таким чином, розклад спрощується до:

\[\frac{5x^2 + 3x - 2}{(x + 1)(x^2 + 2x + 3)} = \frac{5x – 2}{x^2 + 2x + 3}\]

Інтеграл значно спростився:

\[\int \frac{5x – 2}{x^2 + 2x + 3} \, dx\]

На цьому етапі стандартна стратегія полягає в тому, щоб пов'язати чисельник із похідною знаменника. Оскільки:

\[\frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 3) = 2x + 2\]

ми перепишемо чисельник як комбінацію цієї похідної та сталої:

\[5x – 2 = \frac{5}{2}(2x + 2) - 7\]

Відповідно, інтеграл розпадається на два:

\[\frac{5}{2} \int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3} \, dx - 7 \int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} \, dx\]

Перша частина: тут чисельник є точною похідною знаменника. Це дає логарифм:

\[\frac{5}{2} \ln|x^2 + 2x + 3|\]

Оскільки квадратний тричлен має від'ємний дискримінант, він завжди додатний, тому модуль не є суворо необхідним, хоча його збереження не зашкодить.

Друга частина: виділимо повний квадрат \(x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2\), таким чином:

\[-7 \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2} \, dx\]

З підстановкою \(u = x + 1\) та \(a^2 = 2\), ми отримаємо

\[-\frac{7}{\sqrt{2}} \arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\]

Збираючи все разом, первісна функція має вигляд:

\[\frac{5}{2} \ln(x^2 + 2x + 3) - \frac{7}{\sqrt{2}} \arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + c\]

Множник \( x + 1 \) спочатку, здавалося б, потребує окремого члена в розкладі. Проте, після обчислення коефіцієнтів, цей внесок повністю зникає. З цієї причини завжди слід записувати повний розклад: те, що спочатку здається важливим, зрештою може скоротитися.

Вибрана література