Інтегрування підстановкою

Як підстановка спрощує інтегрування

Інтегрування шляхом підстановки — це метод, що використовується для спрощення інтеграла шляхом введення відповідної підстановки. Коли інтеграл неможливо обчислити безпосередньо, цей метод виявляється дуже корисним, оскільки він дозволяє переписати інтеграл від функції \(f(x)\) через нову змінну \(u\), спрощуючи обчислення:

\[\int f(g(x))\,g’(x)\,dx = \int f(u)\,du\]

Процес складається з наступних кроків:

  • Ввести заміну змінної, визначивши \( u = g(x) \), де \( g(x) \) — відповідним чином обрана функція.
  • Обчислити диференціальне перетворення, що задається як \( du = g’(x)dx. \)
  • Переписати інтеграл через \( u \), відповідно замінивши \( x \) та \( dx \), щоб отримати еквівалентний вираз, який часто простіше розв'язати.
  • Після обчислення інтеграла повернутися до початкової змінної \( x \), щоб виразити кінцевий результат у його початковій формі.
Ключова ідея полягає в тому, що підстановка є оберненою операцією до правила ланцюга: розуміння цього зв'язку полегшує визначення того, коли і як застосовувати цей метод.

Метод підстановки є прямим наслідком правила ланцюга для похідних. Якщо \( F(x) = H(g(x)) \), то за правилом ланцюга:

\[ F’(x) = H’(g(x))\, g’(x). \]

Отже, щоразу, коли підінтегральний вираз має вигляд \(H’(g(x))\, g’(x)\), він є похідною складеної функції \( H(g(x)) \). Інтегрування шляхом підстановки просто повертає цей процес, вводячи \( u = g(x) \), що зводить інтеграл до:

\[ \int H’(u)\, du = H(u) + c. \]

Визначення випадків застосування підстановки

Перш ніж переходити до конкретних прикладів, корисно зрозуміти, коли підстановка, ймовірно, буде ефективною. Цей метод найбільш природний, коли підінтегральний вираз містить складену функцію. У багатьох випадках інтеграл має загальний вигляд:

\[ f(g(x))\, g’(x) \]

або відрізняється від нього лише на сталий множник. Коли така структура з'являється, вибір \( u = g(x) \) спрощує вираз, зводячи складену структуру до однієї змінної. Поширеним сигналом є наявність таких виразів, як \( (ax+b)^n \), \( \sqrt{ax+b} \), \( \ln(ax+b) \) або \( e^{ax+b} \). У цих випадках внутрішня лінійна функція \( ax+b \) часто є природним кандидатом для підстановки. Аналогічно, в раціональних виразах вигляду:

\[ \frac{g’(x)}{g(x)} \]

похідна знаменника вказує на підстановку \( u = g(x) \).

На практиці ключова ідея полягає в тому, щоб шукати внутрішній вираз, похідна якого також присутня (точно або з точністю до множника) в іншому місці підінтегрального виразу. Коли такий зв'язок існує, підстановка зазвичай перетворює інтеграл на простішу та зручнішу форму.

Шаблони підстановок
\[ \int f(g(x))\, g’(x)\, dx \] \[ u = g(x) \]
\[ \int (ax+b)^n\, dx \] \[ u = ax+b \]
\[ \int e^{ax+b}\] \[ u = ax+b \]
\[\int \ln(ax+b)\, dx \] \[ u = ax+b \]
\[ \int \dfrac{g’(x)}{g(x)}\, dx \] \[ u = g(x) \]

Приклад 1

Розглянемо наступний інтеграл:

\[\int (2x+1)^3 \,dx\]

Нехай \( u = 2x + 1 \), що спрощує піднесення до степеня. Диференціюючи обидві частини по \( x \), маємо: \[du = 2 \,dx\]

Виражаючи \( dx \), отримаємо: \[dx = \frac{du}{2}\]

Виражаємо інтеграл повністю через \( u \):

\[\int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^3 \,du\]

Тепер перейдемо до розв'язання інтеграла по \( u \), який було зведено до базового інтеграла вигляду \( x^a \). Отримаємо:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + c = \frac{1}{8} u^4 + c\]

Здійснюючи зворотну підстановку \( u = 2x+1 \), отримаємо кінцеве розв'язання:

\[\frac{1}{8} (2x+1)^4 + c\]

Приклад 2

Розглянемо інший приклад, обчисливши наступний інтеграл.

\[\int \frac{1}{3x-5} \,dx\]

Нехай \( u = 3x – 5 \), що спрощує знаменник. Диференціюючи обидві частини по \( x \), маємо: \[du = 3 dx\]

Виражаючи \( dx \), отримаємо: \[dx = \frac{du}{3}\]

Виражаємо інтеграл повністю через \( u \):

\[\int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}\]

Тепер перейдемо до розв'язання інтеграла по \( u \), який було зведено до базового інтеграла вигляду \( 1/x \). Отримаємо:

\[\frac{1}{3} \ln |u| + c\]

Зробивши зворотну підстановку \( u = 3x – 5 \), отримаємо кінцевий результат:

\[\frac{1}{3} \ln |3x – 5| + c\]

Як показано в прикладах вище, інтегрування методом підстановки є ефективним прийомом, але вибір правильної підстановки потребує практики та вміння розпізнавати структуру підінтегрального виразу.

Приклад 3

Розглянемо інший приклад, обчисливши наступний інтеграл: \[\int x \sin(x^2)\,dx\]

Спочатку визначення відповідної підстановки для полегшення обчислення інтеграла може бути неочевидним. Однак ми будемо діяти систематично, щоб перетворити заданий інтеграл у більш зручну форму та отримати бажаний результат. Нехай \( u = x^2 \), що спрощує аргумент функції синус. Диференціюючи обидві частини відносно \( x \), отримаємо: \[du = 2x \,dx\]

Виражаючи \( dx \), отримаємо: \[dx = \frac{du}{2x}\]

Переписуючи все через \( u \), і оскільки \( du = 2x\,dx \), маємо:

\[\int x \sin(u) \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \sin(u) \,du\]

Тепер перейдемо до розв'язання інтеграла по \( u \), який було зведено до базового інтеграла вигляду \( \sin u \):

\[\int \sin u \,du = -\cos u\]

Таким чином:

\[\frac{1}{2} (-\cos u) + c = -\frac{1}{2} \cos u + c\]

Зробивши зворотну підстановку \( u = x^2 \), отримаємо кінцевий результат:

\[-\frac{1}{2} \cos(x^2) + c\]

Приклад 4

Розглянемо наступний інтеграл: \[\int \cos x \sqrt{\sin x}\,dx\]

Нехай \( u = \sin x \), що спрощує вираз під коренем. Диференціюючи обидві частини відносно \( x \), отримаємо:

\[du = \cos x \,dx\]

Оскільки \( du = \cos x \,dx \), ми можемо безпосередньо підставити це в інтеграл.

Підставляючи \( u = \sin x \) та \( du = \cos x \,dx \) безпосередньо в інтеграл, отримаємо:

\[ \int \sqrt{u} \,du = \int u^{1/2} \,du\]

Таким чином, ми перетворили інтеграл у просту форму типу \( x^a \).

Тепер обчислимо інтеграл:

\[\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{3/2} + c\]

Зробивши зворотну підстановку \( u = \sin x \), отримаємо кінцевий результат:

\[\frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + c\]

Тригонометричні підстановки

Зробимо завдання дещо складнішим і проаналізуємо випадок, коли зручно виконати тригонометричну підстановку, щоб спростити інтеграл, що містить поліноми, раціональні або алгебраїчні вирази. Цей крок є менш інтуїтивним; однак його розуміння дозволяє нам зводити, здавалося б, складніші інтеграли до спрощеної форми. Загалом, цей тип підстановки особливо корисний, коли інтеграл містить поліноміальний вираз, який можна переписати за допомогою основної тригонометричної тотожності:

\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

яку можна представити в наступних формах:

\[ \begin{align*} \cos^2 x &= 1 - \sin^2 x \\[0.5em] \sec^2 x &= 1 + \tan^2 x \\[0.5em] \tan^2 x &= \sec^2 x – 1 \end{align*} \]

Щоб спростити інтеграл, виберіть відповідну підстановку залежно від виразу, що міститься у функції:

  • Якщо функція містить \( 1 - x^2 \), використовуйте \( x = \sin u \).
  • Якщо функція містить \( 1 + x^2 \), використовуйте \( x = \tan u \).
  • Якщо функція містить \( x^2 - 1 \), використовуйте \( x = \sec u \).
Повний і систематичний розгляд тригонометричної підстановки, включаючи геометричне обґрунтування та повністю розв'язані приклади, представлено в спеціальному розділі Тригонометрична підстановка для інтегралів.

Приклад 5

Розглянемо наступний інтеграл:

\[\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx\]

Загальною підстановкою для виразів вигляду \( a^2 – x^2 \) у цьому випадку є:

\[x = 3 \sin u\]

Диференціюючи обидві частини:

\[dx = 3 \cos u \, du\]

Підставляючи \( x = 3 \sin u \) у знаменник:

\[\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 – 9\sin^2 u} = \sqrt{9(1 – \sin^2 u)} \]

За основною властивістю тригонометрії маємо:

\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]

Отримаємо:

\[\sqrt{9(1 – \sin^2 u)} = \sqrt{9 \cos^2 u} = 3 \cos u\]

Таким чином, інтеграл перетворюється на:

\[\int \frac{3 \cos u \, du}{3 \cos u} = \int du = u +c\]

Зауважимо, що цей крок передбачає \( \cos u \geq 0 \), що виконується, оскільки підстановка \( x = 3\sin u \) передбачає \( u \in [-\pi/2, \pi/2] \).

З нашої підстановки \( x = 3 \sin u \) виразимо \( u \). Застосувавши обернену синусну функцію arcsin, отримаємо:

\[u = \arcsin \left( \frac{x}{3} \right)\]

Таким чином, кінцевий результат:

\[\arcsin \left( \frac{x}{3} \right) + c\]

Правило підстановки для визначених інтегралів

При застосуванні правила підстановки для обчислення визначених інтегралів вкрай важливо відповідно скоригувати межі інтегрування. Нові межі повинні відповідати підставленій змінній, а не початковій. Якщо межі не змінити, обчислення визначеного інтеграла призведе до неправильного результату. Маємо:

\[\int_{a}^{b} f(g(x)) g’(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]

Приклад 6

Обчислити визначений інтеграл:

\[\int_{0}^{1} x \cos(x^2) \, dx\]

Використовуючи підстановку \( u = x^2 \), отримаємо: \[ du = 2x \, dx \quad dx = \frac{du}{2x} \]

Наступним кроком є визначення перетворених меж інтегрування. Це робиться шляхом підстановки початкових меж у обране рівняння підстановки, щоб виразити їх через нову змінну. Коли \( x = 0 \), тоді \( u = 0^2 = 0 \). Коли \( x = 1 \), тоді \( u = 1^2 = 1 \). Зауважимо, що в цьому випадку межі випадково збіглися з початковими, але загалом це не так. Отримаємо:

\[\int_{0}^{1} x \cos(x^2) \, dx = \int_{0}^{1} \cos u \cdot \frac{du}{2}\]

Маємо: \[\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \cos u \, du\]

Далі ми переходимо до розв'язання інтеграла, обчислюючи його точне значення. \[\frac{1}{2} \sin u \Big|_{0}^{1}\] \[\frac{1}{2} (\sin 1 - \sin 0) = \frac{1}{2} (\sin 1)\]

Таким чином, кінцевий результат:

\[\frac{\sin(1)}{2}\]

Вибрана література