Розкладання на елементарні дроби
Вступ
Розклад на елементарні дроби — це практичний і широко використовуваний метод переписування раціональної функції (частки двох поліномів) у вигляді суми простіших елементарних дробів. Основна ідея полягає в тому, що після розкладання знаменника на незвідні множники початкова функція може бути представлена як комбінація базових доданків, структура яких безпосередньо відображає множники знаменника.
Цей метод стає особливо цінним, коли раціональну функцію легше аналізувати після її розкладання на елементарні компоненти, як-от при інтегруванні раціональних функцій, де кожен елементарний дріб відповідає стандартній формі. Перш ніж перейти до практичного застосування, корисно зрозуміти базовий механізм, який робить такий розклад можливим.
Припустимо, що нам задано раціональну функцію вигляду:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]
- \(P(x)\) та \(Q(x)\) є поліномами.
- Ступінь \(P(x)\) суворо менша за ступінь \(Q(x)\).
Нашою метою є розкласти \(Q(x)\) на незвідні множники та представити \(P(x)\) як лінійну комбінацію доданків, знаменники яких відповідають цим множникам. Таким чином, початкова раціональна функція переписується як сума елементарних дробів, кожен з яких пов'язаний із певним лінійним або незвідним квадратичним множником \(Q(x)\). Такий розклад забезпечує канонічне представлення функції та становить основу методу розкладу на елементарні дроби.
Прикладом розкладання на незвідні множники є випадок \( Q(x) = x^{2} – 9 \), який можна записати як \( Q(x) = (x – 3)(x + 3) \). Обидва множники є лінійними, а отже, незвідними над дійсними числами.
Приклад 1
Щоб проілюструвати механізм методу, корисно почати з конкретного прикладу.
Розглянемо раціональну функцію:
\[ \frac{5x + 4}{(x - 2)(2x + 3)} \]
Спершу зауважимо, що і чисельник, і знаменник є поліномами, і що ступінь \(P(x)\) суворо менша за ступінь \(Q(x)\). Отже, вираз уже є правильним раціональним дробом, і умови, необхідні для застосування методу розкладу на елементарні дроби, виконані. Таким чином, ми можемо перейти до розкладання.
Як перший крок, ми переписуємо задану раціональну функцію як суму двох простіших доданків, кожен з яких має один із лінійних множників знаменника у своєму знаменнику. Іншими словами, ми шукаємо сталі \(A\) та \(B\), такі що вираз можна представити як
\[ \frac{5x + 4}{(x – 2)(2x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{2x + 3} \tag{1} \]
На цьому етапі наша мета — визначити сталі \(A\) та \(B\), щоб наведена вище тотожність виконувалася для всіх дійсних значень \(x\). Іншими словами, ми повинні знайти \(A\) та \(B\), такі що виконується наступне співвідношення:
\[ 5x + 4 =A(2x + 3) + B (x -2) \tag{2} \]
На цьому останньому кроці ми позбуваємося знаменників, множачи обидві частини рівняння на \((x – 2)(2x + 3)\). Це дає поліноміальну тотожність, наведену вище, яка має виконуватися для кожного значення \(x\). Перевага такого перетворення полягає в тому, що воно перетворює початковий раціональний вираз на рівняння, що містить лише поліноми, що дозволяє нам визначити невідомі коефіцієнти \(A\) та \(B\) шляхом прямого алгебраїчного порівняння.
Щоб визначити значення \(A\) та \(B\), ми застосовуємо просту та ефективну процедуру, яку часто називають методом закриття. Ідея полягає в тому, щоб присвоїти \(x\) стратегічні значення, щоб щоразу усувати один коефіцієнт. Зокрема, вибираючи значення \(x\), які обнуляють один із лінійних множників у знаменнику, ми видаляємо відповідний доданок із рівняння і можемо безпосередньо знайти значення іншого коефіцієнта. Це дозволяє нам ефективно обчислити \(A\) та \(B\) без розкриття дужок або порівняння всіх коефіцієнтів поліномів.
Наприклад, вибравши \(x = 2\), ми усуваємо доданок із \(B\), оскільки множник \((x – 2)\) стає рівним нулю. Підставивши \(x = 2\) в тотожність \(2\), ми отримаємо:
\[ 5(2) + 4 = A(2 \cdot 2 + 3) + B(0) \]
Це спрощується до:
\[ 10 + 4 = A(7) \]
і отже:
\[ A = \frac{14}{7} = 2 \]
Щоб визначити \(B\), ми вибираємо значення \(x\), яке обнуляє множник \(2x + 3\). При \(x = -\tfrac{3}{2}\) усувається доданок із \(A\). Підставивши це значення в тотожність \(2\), ми отримаємо
\[ 5\left(-\frac{3}{2}\right) + 4 = A(0) + B\left(-\frac{3}{2} – 2\right) \]
Спрощення кожного доданка дає:
\[ -\frac{15}{2} + 4 = B\left(-\frac{7}{2}\right) \]
Отримуємо:
\[ -\frac{7}{2} = -\frac{7}{2} B \]
і отже
\[ B = 1 \]
Підставивши значення \(A\) та \(B\) в рівняння \(1\), ми отримаємо наступне представлення початкової раціональної функції:
\[ \frac{5x + 4}{(x – 2)(2x + 3)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2x + 3} \]
Це представляє задану раціональну функцію як суму її елементарних дробів.
Застосування до обчислення інтегралів
Як було зазначено на початку, розклад на елементарні дроби є особливо цінним у практичних ситуаціях, зокрема при інтегруванні раціональних функцій. Повертаючись до функції з Прикладу 1, інтеграл:
\[ \int \frac{5x + 4}{(x – 2)(2x + 3)} \, dx \]
не є одразу простим для обчислення у своєму початковому вигляді. Однак, як тільки вираз переписаний у вигляді суми простіших доданків, ми маємо:
\[ \int \frac{5x + 4}{(x - 2)(2x + 3)}\, dx = \int \left( \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2x + 3} \right) \, dx \]
У такому вигляді обчислення стає значно простішим. Завдяки властивості лінійності інтегралів, інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від кожного доданка. Отже, після виконання розкладу на елементарні дроби, ми отримаємо:
\[ 2 \int \frac{1}{x – 2} \, dx + \int \frac{1}{2x + 3} \, dx \]
який можна обчислити почленно, використовуючи стандартні логарифмічні формули. Зокрема:
\[ \int \frac{2}{x – 2} \, dx = 2 \ln|x – 2| + c_1 \] \[ \int \frac{1}{2x + 3} \, dx = \frac{1}{2} \ln|2x + 3| + c_2 \]
Об'єднання результатів дає первісну функцію початкової раціональної функції. Це ілюструє, як розклад на елементарні дроби перетворює інтеграл, до якого важко підійти безпосередньо, на суму елементарних інтегралів з відомими розв'язаннями.
Загальна структура розкладу на елементарні дроби
Розклад раціональної функції на елементарні дроби здійснюється за систематичним правилом, яке залежить виключно від розкладу знаменника на множники. Після того як знаменник буде представлений як добуток лінійних та незвідвідних квадратичних множників, можливо, піднесених до вищих степенів, раціональну функцію можна переписати як суму елементарних доданків, пов'язаних з кожним множником.
Зокрема, для кожного лінійного множника вигляду \(x + a\), розклад включає доданок вигляду:
\[\frac{A}{(x + a)}\]
Якщо лінійний множник з'являється з кратністю \(k\), тоді необхідно додати послідовність доданків, а саме:
\[ \frac{A_{1}}{x+a} + \frac{A_{2}}{(x+a)^{2}} + \cdots + \frac{A_{k}}{(x+a)^{k}} \]
Аналогічно, для кожного незвідвідного квадратичного множника \(x^{2} + ax + b\), необхідно включити доданок вигляду:
\[(A + Bx)/(x^{2} + ax + b)\]
Якщо цей множник повторюється \(k\) разів, розклад потребує повної послідовності:
\[ \frac{A_{1} + B_{1} x}{x^{2} + ax + b} + \frac{A_{2} + B_{2} x}{(x^{2} + ax + b)^{2}} + \cdots + \frac{A_{k} + B_{k} x}{(x^{2} + ax + b)^{k}} \]
Ці правила гарантують, що кожна раціональна функція, знаменник якої повністю розкладений на множники над дійсними числами, має єдине представлення у вигляді елементарних дробів після визначення коефіцієнтів.
Приклад 2
Тепер розглянемо приклад, що є дещо складнішим за попередній. Ми хочемо знайти розклад на елементарні дроби раціональної функції:
\[ \frac{1}{x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6} \]
Хоча чисельник уже є максимально простим, знаменник є поліномом третього степеня, і його розклад на множники визначатиме весь процес розкладу. Тому нашим першим кроком буде розкладання знаменника на незвідвідні компоненти. Перевіряючи можливі раціональні корені, ми знаходимо, що \(x = 1\) задовольняє рівності:
\[ 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \]
отже \((x - 1)\) є множником. Діливши поліном на \((x - 1)\) за допомогою схеми Горнера, ми маємо:
\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\[0.6em] & & 1 & -5 & 6 \\[0.6em] \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Таким чином ми отримуємо частку \(x^{2} – 5x + 6\), яка далі розкладається як
\[ x^{2} – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \]
Повний розклад знаменника на множники таким чином виглядає так:
\[ (x – 1)(x – 2)(x – 3) \]
і оскільки всі множники є лінійними та відмінними, ми можемо представити раціональну функцію як
\[ \frac{1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x – 3} \]
Щоб визначити стали \(A\), \(B\) та \(C\), ми множимо обидві частини на знаменник, отримуючи тотожність:
\[ 1 = A(x – 2)(x – 3) + B(x – 1)(x – 3) + C(x – 1)(x – 2) \]
яка виконується для всіх дійсних \(x\). Підставляючи зручні значення, ми можемо усунути доданки та знайти кожну сталу.
При \(x = 1\) отримуємо:
\[ 1 = A(1 – 2)(1 – 3) = 2A, \qquad A = \frac{1}{2} \]
При \(x = 2\) отримуємо:
\[ 1 = B(2 – 1)(2 – 3) = -B, \qquad B = -1 \]
При \(x = 3\) отримуємо:
\[ 1 = C(3 - 1)(3 - 2) = 2C, \qquad C = \frac{1}{2} \]
Підставляючи ці значення в розклад, отримаємо
\[ \frac{1}{x^{3} – 6x^{2} + 11x – 6} = \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{x – 2} + \frac{1}{2(x - 3)} \]