Однорідні тригонометричні рівняння
Що таке однорідні тригонометричні рівняння
Однорідні тригонометричні рівняння — це рівняння, у яких усі доданки містять тригонометричні функції, такі як синус і косинус, піднесені до одного й того самого степеня. Однорідне тригонометричне рівняння першого степеня зазвичай представлене у вигляді:
\[ a \sin x + b \cos x = 0 \]
Кожен доданок у рівнянні має степінь \(1\), а \( a \) та \( b \) є дійсними коефіцієнтами. Загальний вигляд тригонометричного рівняння першого степеня такий:
\[a \sin x + b \cos x + c = 0 \]
Це рівняння вважається однорідним, коли стала \( c = 0 \). Аналогічні міркування застосовуються до однорідних тригонометричних рівнянь другого степеня, які містять лише доданки другого степеня. Ці рівняння зазвичай записуються у вигляді:
\[ a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 \]
Це означення можна узагальнити для рівнянь третього, четвертого, п'ятого степенів і так далі. У цих випадках усі доданки повинні містити тригонометричні функції, піднесені до одного й того самого степеня, щоб рівняння залишалося однорідним.
Однорідні рівняння степеня \( n \) можна розв'язати, поділивши кожен доданок рівняння на \( \cos^n x \), тим самим перетворивши рівняння на таке, що виражене через \( \tan x \).
Приклад 1
Розв'яжемо однорідне тригонометричне рівняння першого степеня: \[ \sin x – \sqrt{3} \cos x = 0 \]
Поділивши рівняння на \( \cos x \), отримаємо:
\[\frac{\sin x}{\cos x} – \sqrt{3} = 0\]
Оскільки відношення синуса до косинуса дорівнює тангенсу, ми можемо переписати рівняння через \( \tan x. \)
\[\tan x = \sqrt{3}\]
Розв'язуючи рівняння, отримаємо значення:
\[ x = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \]
Оскільки функція тангенса є періодичною з періодом \( \pi \), загальний розв'язок такий:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Коли тригонометричні тотожності дозволяють нам переписати тригонометричне рівняння в однорідній формі, зазвичай бажано це зробити, оскільки це може спростити обчислення та зробити процес розв'язання зручнішим.
Приклад 2
Тепер розглянемо тригонометричне рівняння другого степеня:
\[ \sin^2 x + \sin 2x - \cos^2 x = 0 \]
На перший погляд, це не однорідне рівняння, оскільки не всі доданки мають однаковий степінь. Зокрема, \( \sin 2x \) є доданком першого степеня, тоді як \( \sin^2 x \) та \( \cos^2 x \) містять вирази другого степеня. У такому рівнянні ми не можемо поділити всі доданки на \( \cos^2 x \), оскільки доданок першого степеня не перетвориться на корисний вираз для розв'язання рівняння. Фактично, цей метод працює лише тоді, коли всі доданки мають однаковий степінь, як в однорідних рівняннях.
Однак, використовуючи тригонометричні тотожності, а саме формулу подвійного кута, ми можемо переписати \( \sin(2x) \) як \( 2\sin(x)\cos(x) \). Тоді рівняння набуває вигляду:
\[ \sin^2 x + 2\sin x \cos x – \cos^2 x = 0 \]
Таким чином, ми перетворили початкове рівняння на однорідне тригонометричне рівняння другого степеня, яке тепер можна розв'язати, поділивши всі доданки на \( \cos^2 x \). Рівняння набуває вигляду:
\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
Спростивши кожен доданок, отримаємо:
\[ \tan^2 x + 2\tan x – 1 = 0 \]
Це квадратне рівняння відносно \( \tan x \), і тепер його можна розв'язати за допомогою формули коренів квадратного рівняння. Нехай \( t = \tan x \). Рівняння набуває вигляду:
\[ t^2 + 2t – 1 = 0 \]
Використовуючи формулу квадратного рівняння, маємо:
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \]
Два розв'язки такі:
\[ t_1 = -1 + \sqrt{2}, \quad t_2 = -1 – \sqrt{2} \]
Повертаючись до заміни \( t = \tan x \), отримаємо розв'язки:
\[ \tan x = -1 + \sqrt{2} \quad \text{та} \quad \tan x = -1 – \sqrt{2} \]
Загальними розв'язаннями є:
\[ x_1 = \arctan(-1 + \sqrt{2}) + k\pi \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arctan(-1 – \sqrt{2}) + k\pi \quad k \in \mathbb{Z} \]