Тригонометричні тотожності
Допоміжні кути або відображення
Існує багато тригонометричних тотожностей, які дозволяють переформулювати тригонометричну функцію в інший, але еквівалентний спосіб. Ці альтернативні форми часто спрощують обчислення: вони допомагають впорядкувати вирази, виявляють корисні скорочення та є особливо зручними при розв'язанні таких задач, як розв'язання тригонометричних рівнянь.
Метод допоміжних кутів або відображень стосується набору тригонометричних тотожностей, які дозволяють виразити тригонометричні функції негострих кутів через відповідний гострий кут у першому квадранті прямокутної системи координат. Іншими словами, будь-яка тригонометрична функція синус, косинус, тангенс або котангенс з аргументом вигляду: \[ \pi \pm \alpha,\quad \frac{\pi}{2} \pm \alpha,\quad \pi \pm \alpha,\quad \frac{3\pi}{2} \pm \alpha,\quad 2\pi – \alpha, \quad \ldots \]
може бути переписана як функція \(\alpha\) шляхом відповідного коригування знака. Розглянемо кут вигляду: \[ \frac{\pi}{2} + \alpha \] У декартових координатах цей кут знаходиться у другому квадранті.
Геометричний аналіз показує, що:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha \]
Іншими словами, синус кута \(\alpha\) (вертикальний відрізок у першому квадранті) дорівнює за довжиною косинусу кута \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) (горизонтальний відрізок у другому квадранті), за винятком того, що останній має від'ємний знак.
Сума та різниця
Формули суми та різниці кутів дозволяють нам переписати тригонометричну функцію, застосовану до суми або різниці двох кутів, в еквівалентній формі. Для синуса та косинуса виконуються такі тотожності:
\[ \begin{align} &\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \\[10pt] &\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b) \\[10pt] &\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\[10pt] &\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) \end{align} \]
Для тангенса та котангенса виконуються такі тотожності:
\[ \begin{align} &\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \\[10pt] &\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\\[10pt] &\cot(a + b) = \frac{\cot(a)\cot(b) – 1}{\cot(a) + \cot(b)}\\[11pt] &\cot(a - b) = \frac{\cot(a)\cot(b) + 1}{\cot(b) - \cot(a)} \end{align} \]
Подвійний кут
Формули подвійного кута надають альтернативний спосіб вираження тригонометричної функції, застосованої до подвійного кута. Для формул подвійного кута синуса та косинуса маємо:
\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\]
Для формул подвійного кута тангенса та котангенса маємо:
\[\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}\] \[\cot(2\theta) = \frac{\cot^2(\theta) - 1}{2\cot(\theta)}\]
Щоб навести доведення, розглянемо формулу синуса подвійного кута як приклад, починаючи з основної тригонометричної тотожності:
\[ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \]
Припустимо, що \( a = b = \theta \), тоді отримаємо:
\[ \sin(\theta + \theta) = \sin(\theta)\cos(\theta) + \cos(\theta)\sin(\theta) \]
Оскільки \( \theta + \theta = 2\theta \), ми можемо переписати рівняння як:
\[ \sin(2\theta) = \sin(\theta)\cos(\theta) + \cos(\theta)\sin(\theta) \]
Два доданки в правій частині рівняння ідентичні, тому ми можемо додати їх, щоб отримати:
\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\]
Формули половинного кута
Формули половинного кута використовуються для вираження тригонометричних функцій кута, поділеного навпіл, через тригонометричні функції вихідного кута. Для синуса та косинуса виконуються такі тотожності:
\[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}\] \[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}\]
Для тангенса та котангенса маємо:
\[\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}\] \[\cot\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{1 - \cos(\theta)}} = \frac{1 + \cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sin(\theta)}{1 - \cos(\theta)}\]
Параметричні формули
Параметричні формули — це вирази, які дозволяють представити тригонометричні функції через допоміжну змінну, яку часто позначають як \( t \). Загалом, для кута \( \theta \), ми можемо виразити синус і косинус через параметричну змінну \( t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \) :
\[ \sin(\theta) = \frac{2t}{1 + t^2} \] \[ \cos(\theta) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \]
Аналогічно, ми можемо виразити тангенс і котангенс через ту саму параметричну змінну \( t \):
\[ \tan(\theta) = \dfrac{2t}{1 – t^2} \] \[ \cot(\theta) = \dfrac{1 - t^2}{2t} \]
Формули Вернера
Формули Вернера — це тригонометричні тотожності, які дозволяють перетворити добуток синусів і косинусів двох кутів на суми та різниці тригонометричних функцій.
\[\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha – \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\] \[\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)]\] \[\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\]
Формули простафайрезису
Формули простафайрезису надають корисний спосіб переписати суми та різниці тригонометричних виразів у вигляді добутків. Така зміна форми часто спрощує обчислення та виявляє симетрії, які менш помітні в їхній початковій адитивній формі.
\[\sin(p) + \sin(q) = 2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\sin(p) - \sin(q) = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\]