Правило Крамера
Що таке правило Крамера?
Правило Крамера надає метод розв'язання систем \( n \) лінійних рівнянь з \( n \) невідомими за допомогою визначника матриці коефіцієнтів системи. Це правило застосовується лише тоді, коли матриця коефіцієнтів є квадратною і її визначник не дорівнює нулю, що гарантує наявність у системи єдиного розв'язання.
Застосування правила Крамера
Розглянемо загальну систему з \( n \) рівнянь у \( n \) невідомих:
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\[0.5em] \quad\vdots \\[0.5em] a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]
Ми можемо переписати систему, використовуючи матричний запис, як \( A \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \). Система набуває вигляду:
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Вільні члени та змінні можна організувати у два стовпчикових вектори:
\[ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad\quad B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]
Припустимо, що матриця коефіцієнтів \( A \) є оберненою, що означає, що її визначник не дорівнює нулю (\(\det(A) \ne 0\)). За цієї умови система має єдине розв'язання, яке можна виразити через обернену матрицю \( A \) як:
\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \]
Це загальна форма правила Крамера, де кожен \( A_{ij} \) є алгебраїчним доповненням елемента \( a_{ji} \) у вихідній матриці \( A \).
У цьому контексті \( A_{ij} \) позначає алгебраїчне доповнення елемента \( a_{ji} \) з вихідної матриці \( A \), а не сам елемент матриці. Матриця, що використовується тут, є приєднаною матрицею \( A \), що позначається як \( \text{adj}(A) \).
Значення невідомого на позиції \( k \) задається дробом. Його знаменник — це \( \det(A) \), а чисельник — визначник матриці, отриманої шляхом заміни \( k \)-го стовпця \( A \) стовпцем вільних членів:
\[ x_k = \frac{\det(A_k)}{\det(A)} \]
Для кращого розуміння цього кроку див. детальне пояснення в Прикладі 2.
Розв'язання однорідних систем
Однорідна система — це система лінійних рівнянь, у якій усі вільні члени дорівнюють нулю. Такі системи завжди мають принаймні один розв'язок: тривіальний розв'язок, де всі змінні дорівнюють нулю. Але стається щось цікаве, коли ми розглядаємо визначник матриці коефіцієнтів:
- Якщо \( \det(A) \ne 0 \), система має лише тривіальний розв'язок.
- Якщо \( \det(A) = 0 \), система має безліч розв'язків, включаючи нетривіальні, де принаймні одна змінна не дорівнює нулю.
Однорідні системи ніколи не бувають несумісними. Вони завжди мають розв'язки, але кількість розв'язків повністю залежить від визначника.
Приклад 1
Розглянемо наступну однорідну систему з трьох рівнянь у трьох невідомих:
\[ \begin{cases} x + y + z = 0 \\[0.5em] 2x – y + z = 0 \\[0.5em] 3x + y + 2z = 0 \end{cases} \]
Цю систему можна записати в матричній формі як \( A \cdot \mathbf{x} = \mathbf{0} \), де матриця коефіцієнтів має вигляд:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 \\[0.5em] 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Щоб зрозуміти характер розв'язків, обчислимо визначник матриці \( A \):
\[ \begin{align*} \det(A) &= 1 \cdot (-1 \cdot 2 – 1 \cdot 1) -1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) +1 \cdot (2 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) \\[0.5em] &= 1(-2 - 1) - 1(4 - 3) + 1(2 + 3) \\[0.5em] &= -3 - 1 + 5 \\[0.5em] & = 1 \end{align*} \]
Оскільки визначник не дорівнює нулю, система має лише тривіальний розв'язок:
\[x = 0 \quad y = 0 \quad z = 0\]
Цей результат узгоджується з правилом Крамера: коли \( \det(A) \ne 0 \), єдиним можливим розв'язком однорідної системи є тривіальний, оскільки всі визначники в чисельниках формули Крамера стають рівними нулю.
Приклад 2
Розвʼяжемо наступну систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\[0.5em] 4x - y = 2 \end{cases} \]
Визначимо матрицю коефіцієнтів \( A \), вектор невідомих \( \mathbf{x} \) та вектор сталих \( \mathbf{b} \):
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \quad\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 8 \\ 2 \end{bmatrix} \]
Обчислимо визначник матриці коефіцієнтів \( A \):
\[ \det(A) = 2 \cdot (-1) – 3 \cdot 4 = -2 - 12 = -14 \]
Оскільки визначник не дорівнює нулю, система має рівно один розвʼязок, і ми можемо застосувати правило Крамера.
Сформуємо матрицю \( A_1 \), замінивши перший стовпець \( A \) на сталі:
\[ A_1 = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \det(A_1) = 8 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 = -8 - 6 = -14 \]
Тепер сформуємо \( A_2 \), замінивши другий стовпець \( A \) на сталі:
\[ A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \det(A_2) = 2 \cdot 2 – 8 \cdot 4 = 4 - 32 = -28 \]
Тепер обчислимо значення невідомих за формулою:
\begin{align*} x &= \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-14}{-14} = 1 \\[0.5em] y &= \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-28}{-14} = 2 \end{align*}
Розвʼязанням системи є:
\[ x = 1 \quad\quad y = 2 \]