Рівномірний розподіл

Середнє значення рівномірного розподілу

Середнє значення, або математичне сподівання рівномірного розподілу описує середній результат, який ми очікуємо від випадкової змінної, що може набувати будь-якого значення між \(a\) та \(b\) з однаковою ймовірністю. Оскільки розподіл повністю плоский на цьому проміжку, обчислення математичного сподівання є простим і випливає безпосередньо із загального означення:

\[ \mu = E(X) = \int_{a}^{b} x\, U(x;a,b) \, dx \]

Для рівномірного розподілу функція щільності ймовірності є сталою:

\[ f(x) = \frac{1}{b – a} \qquad \text{для } a \le x \le b \]

Підставляючи цей вираз в інтеграл, отримаємо:

\[ E(X) = \int_{a}^{b} x \frac{1}{b – a} \, dx \]

Оскільки щільність не змінюється на проміжку, ми можемо просто винести її за знак інтеграла:

\[ E(X) = \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} x \, dx \]

Залишок інтеграла є елементарним. Первісна від \(x\) дорівнює \(x^{2}/2\), тому обчислення її між \(a\) та \(b\) дає:

\[ \int_{a}^{b} x \, dx = \frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} \]

Підставляючи це назад у вираз для математичного сподівання, отримаємо:

\[ E(X) = \frac{1}{b - a} \left( \frac{b^{2} - a^{2}}{2} \right) \]

Зауважимо, що \( b^{2} – a^{2} = (b – a)(b + a) \), тому вираз спрощується до:

\[ E(X) = \frac{b + a}{2} \]

Це показує, що середнє значення рівномірного розподілу є точною серединою проміжку \([a, b]\).

Дисперсія рівномірного розподілу

Дисперсія рівномірного розподілу описує, наскільки випадкова змінна, як очікується, відхиляється від свого середнього значення. У той час як середнє значення визначає центральне значення проміжку, дисперсія кількісно визначає, наскільки концентрованими або розсіяними є результати на \([a, b]\). Оскільки рівномірний розподіл присвоює однакову щільність кожній точці на проміжку, його мінливість повністю залежить від довжини цього проміжку. Формально, дисперсія для неперервної випадкової змінної визначається як:

\[ \sigma^{2} = \mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2} \]

Виходячи з функції щільності ймовірності рівномірного розподілу, маємо:

\[ E(X^{2}) = \int_{a}^{b} x^{2} U(x;a,b)\, dx \]

Для рівномірного розподілу щільність становить:

\[ U(x;a,b) = \frac{1}{b – a} \]

Підставляючи цей вираз у формулу, отримаємо:

\[ E(X^{2}) = \int_{a}^{b} x^{2} \frac{1}{b – a} \, dx = \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} x^{2}\, dx \]

Інтеграл від \(x^{2}\) обчислюється просто:

\[ \int_{a}^{b} x^{2}\, dx = \frac{b^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{3} \]

Таким чином, маємо:

\[ E(X^{2}) = \frac{1}{b - a} \left( \frac{b^{3} - a^{3}}{3} \right) \]

Використовуючи розкладання \( b^{3} – a^{3} = (b – a)(b^{2} + ab + a^{2}) \), вираз спрощується до:

\[ E(X^{2}) = \frac{b^{2} + ab + a^{2}}{3} \]

Тепер поєднаємо це із середнім значенням рівномірного розподілу,

\[ E(X) = \frac{a + b}{2} \]

так що:

\[ [E(X)]^{2} = \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{4} \]

Збираючи все разом, отримаємо:

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{b^{2} + ab + a^{2}}{3} – \frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{4} \]

Після спрощення виразу дисперсія набуває вигляду:

\[ \sigma^{2} = \mathrm{Var}(X) = \frac{(b – a)^{2}}{12} \]

Зв'язок між рівномірним та бета-розподілом

Існує зв'язок між рівномірним розподілом та бета-розподілом \(B(x),\alpha,\beta\). Коли обидва параметри форми дорівнюють одиниці, тобто \( \alpha = 1 \) та \( \beta = 1 \), щільність бета-розподілу стає абсолютно плоскою на проміжку \((0,1)\). Функція щільності ймовірності бета-розподілу має вигляд:

\[ B(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha – 1} (1 – x)^{\beta - 1}}{B(\alpha,\beta)} \] \[ 0 < x < 1 \]

При \( \alpha = 1 \) та \( \beta = 1 \) обидва показники степеня в чисельнику стають рівними нулю, а бета-функція обчислюється як \( B(1,1) = 1 \). У результаті щільність спрощується до:

\[ B(x;1,1) = 1 \]

що є саме щільністю рівномірної випадкової змінної на \((0,1)\).