Математичне сподівання випадкової величини
Що таке математичне сподівання випадкової величини?
Середнє значення представляє собою фундаментальну статистичну міру, яка характеризує центральну тенденцію набору даних. Воно зводить увесь розподіл до однієї інформативної величини, що вказує на точку, навколо якої значення є збалансованими.
Серед основних видів середніх значень є середнє арифметичне та середнє геометричне, які використовуються для узагальнення скінченної множини числових значень. Хоча ці міри описують центральну тенденцію спостережуваних даних, концепція середнього значення може бути також розширена на дискретні випадкові величини та неперервні випадкові величини.
Для заданої випадкової величини \(X\) її середнє значення, яке також називають математичним сподіванням, визначається як величина \(\mu = E[X]\). Воно виражає довгострокове середнє значення, яке видала б випадкова величина, якби той самий випадковий процес повторювався нескінченно за тих самих умов.
Концептуально воно позначає точку балансу розподілу, рівень, навколо якого мають тенденцію концентруватися можливі результати.
У випадку дискретних випадкових величин середнє значення визначається як:
\[ \mu = E(X) = \sum_x x f(x) \]
де \(x\) представляє можливі значення, які може набувати випадкова величина \(X\), а \(f(x)\) — ймовірність, пов'язана з кожним значенням \(x\).
У випадку неперервних випадкових величин середнє значення визначається як:
\[ \mu = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \]
де \(f(x)\) — функція щільності ймовірності випадкової величини \(X\), а інтеграл підсумовує внески всіх можливих значень \(x\) по всій прямій.
В обох випадках середнє значення виводиться з самого розподілу ймовірностей. Замість того, щоб обчислюватися на основі обмеженого набору точок даних, воно відображає баланс усіх можливих результатів \(X\), кожен з яких робить внесок пропорційно до ймовірності його виникнення.
Властивості математичного сподівання випадкової величини
Математичне сподівання має кілька фундаментальних властивостей, які випливають з його означення і є дійсними як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин. Властивість монотонності стверджує, що якщо одна випадкова величина завжди більша або рівна іншій для кожного можливого результату, то така ж відношення зберігається і для їхніх математичних сподівань. Іншими словами, якщо для всіх результатів \( \omega \) маємо \( X(\omega) \ge Y(\omega) \), звідси випливає, що
\[
E(X) \ge E(Y)
\]
Це виражає ідею того, що сподівання зберігає порядок: середнє значення більшої величини не може бути меншим за середнє значення меншої.
Лінійність відносно сталих величин вказує на те, як сподівання реагує на постійний множник. Коли випадкова величина \( X \) множиться на дійсну сталу \( c \), математичне сподівання масштабується на той самий коефіцієнт, тобто,
\[
E(cX) = c\,E(X)
\]
Це відображає той факт, що множення всіх можливих значень \( X \) на одну й ту саму сталу просто розтягує або стискає його розподіл, не змінюючи базових пропорційних відносин.
Нарешті, властивість адитивності встановлює, що математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їхніх індивідуальних сподівань:
\[
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
\]
Цей результат є особливо важливим, оскільки він залишається вірним незалежно від того, чи є змінні незалежними чи ні.
Сподівання для спільно розподілених величин
Концепція середнього значення, або математичного сподівання, може бути також розширена на функції двох випадкових величин \(X\) та \(Y\), які мають спільний розподіл ймовірностей \(f(x, y)\). У цьому випадку ми можемо обчислити математичне сподівання нової змінної \(g(X, Y)\), визначеної через \(X\) та \(Y\).
Для дискретних випадкових величин математичне сподівання задається як:
\[ \mu_{g(X,Y)} = E[g(X,Y)] = \sum_x \sum_y g(x, y) f(x, y) \]
Для неперервних випадкових величин вираз набуває вигляду:
\[ \mu_{g(X,Y)} = E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) dx dy \]
В обох формах середнє значення представляє собою середнє зважене функції \(g(X, Y)\), де ваги визначаються спільним розподілом ймовірностей \(X\) та \(Y\).
Приклад 1
Розглянемо дискретну випадкову величину \(X\), що представляє кількість дефектних виробів, знайдених у випадковій вибірці з двох продуктів, взятих із партії, де 10% усіх виробів є дефектними. Кожен виріб може бути або дефектним (D), або недефектним (N), і ймовірність дефекту однакова для кожного вибору.
Можливими значеннями \(X\) є \(0\), \(1\) та \(2\), що відповідають кількості дефектних виробів у вибірці. Припускаючи незалежність між виборами, розподіл ймовірностей має такий вигляд:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(0.9^2\) | \(2 \cdot 0.1 \cdot 0.9\) | \(0.1^2\) |
| \(f(x)\) | \(0.81\) | \(0.18\) | \(0.01\) |
Використовуючи формулу для середнього значення дискретної випадкової величини
\[ \mu = E(X) = \sum_x x f(x) \]
отримаємо:
\[ \begin{align} \mu = E(X) &= 0 \cdot 0.81 + 1 \cdot 0.18 + 2 \cdot 0.01 \\[6pt] &= 0 + 0.18 + 0.02 \\[6pt] &= 0.20 \end{align} \]
Отже, очікувана кількість дефектних виробів у вибірці з двох продуктів становить \(0.2\). Це означає, що в середньому один дефектний виріб очікується на кожні п'ять вибірок по два продукти, відібрані за тими самими умовами.
Приклад 2
Тепер розглянемо приклад, що стосується неперервного випадку, де випадкова величина може набувати нескінченної кількості значень у заданому інтервалі. Ми дослідимо термін служби лампи розжарення, виміряний у годинах, припускаючи, що довший термін служби є більш імовірним, ніж коротший. Випадкова величина \( X \) представляє термін служби лампи, і її функція щільності ймовірності визначена як:
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x}{25^2} & 0 \le x \le 25 \\[6pt] 0 & \text{в іншому випадку} \end{cases} \]
Математичне сподівання, або середнє значення, представляє теоретичний середній термін служби лампи.
Для неперервної випадкової величини воно визначається як:
\[ \mu = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx \]
Оскільки щільність дорівнює нулю за межами інтервалу \([0,25]\), це спрощується до:
\[ \mu = \int_0^{25} x \cdot \frac{2x}{25^2}\,dx \]
Цей вираз обчислює середньозважену величину всіх можливих термінів служби, де кожне значення \( x \) зважене за його ймовірністю згідно з \( f(x) \).
Тепер ми можемо обчислити інтеграл:
\[ \mu = \frac{2}{25^2} \int_0^{25} x^2\,dx \]
Зосередимося на інтегралі, який можна розв'язати безпосередньо. Маємо:
\[ \int_0^{25} x^2\,dx = \frac{25^3}{3} = \frac{15625}{3} \]
Фактично, інтегруючи \( x^2 \), ми отримуємо його первісну \( \tfrac{1}{3}x^3 \). Обчислення її на межах від 0 до 25 дає:
\[ \frac{1}{3} \cdot 25^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{25^3}{3} \]
що представляє значення визначеного інтеграла.
Підставляючи цей результат, отримаємо:
\[ \mu = \frac{2}{625} \cdot \frac{15625}{3} = \frac{50}{3} \]
Отже, середній термін служби лампи розжарення становить:
\[ \mu = \frac{50}{3} \approx 16.67 \text{ годин} \]