Радикальна ознака збіжності рядів

Що таке радикальний тест

Радикальний тест — це метод, що використовується для визначення того, чи є нескінченний ряд збіжним або розбіжним. Він особливо корисний, коли кожен член ряду містить вираз, піднесений до \( n \)-го ступеня, наприклад, показникові функції або корені. Припустимо, ми маємо ряд із додатними членами вигляду:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \]

Припустимо, що границя існує і є скінченною:

\[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \]

Ми використовуємо \( \limsup \), оскільки вона завжди визначена для дійсних послідовностей, що обмежені знизу. Це робить радикальний тест надійним навіть тоді, коли звичайна границя \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \) не існує. Завдяки використанню верхньої границі, тест все одно може визначити довгострокову поведінку послідовності та встановити, чи є ряд збіжним або розбіжним.

Якщо границя \( L \) існує, можливі три випадки:

  • Якщо \( L < 1 \), ряд збігається абсолютно.
  • Якщо \( L > 1 \) або \( L = \infty \), ряд розбігається.
  • Якщо \( L = 1 \), тест є невизначеним.
Ми використовуємо абсолютне значення \( |a_n| \), щоб застосувати радикальний тест до абсолютної збіжності ряду. Це гарантує роботу тесту навіть якщо члени \( a_n \) є від'ємними або змінюють знак, що дозволяє нам зосередитися лише на їхній величині.

Як розпізнати, коли застосовувати радикальний тест

Радикальний тест особливо корисний, коли загальний член ряду виражений у вигляді \( a_n = (b_n)^n \), тобто, коли весь член піднесений до степеня \( n \). У таких випадках добування \( n \)-го кореня з \( a_n \) значно спрощує вираз і часто безпосередньо призводить до границі, яку легко обчислити.

Натомість інші тести можуть стати складнішими в такому контексті, особливо коли відношення \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) не спрощується легко або коли задіяні факторіали чи показникові члени таким чином, що обчислити границі стає важче.

Підсумовуючи, радикальний тест є особливо ефективним у наступних ситуаціях:

  • Коли \( a_n = (f(n))^n \), де \( f(n) > 0 \)
  • Коли члени ряду мають експоненціальний ріст або спадання
  • Коли границю \( \sqrt[n]{|a_n|} \) легше обчислити, ніж \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \)

У всіх інших випадках, якщо загальний член не піднесений до \( n \)-го степеня, можуть бути більш доречними інші тести.

Доведення

Розглянемо випадок абсолютної збіжності, де \( L < 1 \). Оскільки \( L < 1 \), існує дійсне число \( r \), таке що:

\[ L < r < 1 \]

За означенням \( \limsup \), існує ціле число \( N \), таке що для всіх \( n \geq N \):

\[ \sqrt[n]{|a_n|} < r \quad \rightarrow \quad |a_n| < r^n \]

Отже, хвіст ряду задовольняє нерівність:

\[ \sum_{n=N}^{\infty} |a_n| < \sum_{n=N}^{\infty} r^n \]

Оскільки \( 0 < r < 1 \), геометричний ряд \( \sum r^n \) збігається. Таким чином, за ознакою порівняння, хвіст \( \sum_{n=N}^{\infty} |a_n| \) збігається, а отже, і весь ряд \( \sum |a_n| \).

Тепер розглянемо випадок, за якого ряд розбігається, припустимо \( L > 1 \). Тоді, за означенням \( \limsup \), для нескінченної кількості індексів \( n \) маємо:

\[ \sqrt[n]{|a_n|} > r \quad \text{для деякого } r > 1 \]

Таким чином, \( |a_n| > r^n \) виконується нескінченно часто. Але оскільки \( r^n \to \infty \), ми знаємо, що \( |a_n| \nrightarrow 0 \).

Отже, необхідна умова збіжності \( \sum a_n \) не виконується. Таким чином, ряд розбігається.

Розглянемо останній випадок, коли про збіжність ряду нічого не можна сказати, а саме, коли \( L = 1 \). Якщо \( L = 1 \), то для кожного \( \varepsilon > 0 \) ми можемо знайти нескінченно багато \( n \), таких що:

\[ \sqrt[n]{|a_n|} > 1 – \varepsilon \quad \text{та} \quad \sqrt[n]{|a_n|} < 1 + \varepsilon \]

Цей діапазон включає як збіжну, так і розбіжну поведінку. Наприклад, гармонічний ряд \( a_n = \frac{1}{n} \) має \( \sqrt[n]{|a_n|} \to 1 \) і розбігається. p-ряд ( \( a_n = \frac{1}{n^2} \) ) також має \( \sqrt[n]{|a_n|} \to 1 \), але він збігається. Отже, тест є невизначеним, коли \( L = 1 \).

Приклад

Розглянемо ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n}{5n + 2} \right)^n \]

Ми хочемо визначити, чи є цей ряд збіжним, чи розбіжним. У цьому випадку ми вирішуємо застосувати радикальний тест, оскільки кожен член ряду задано у вигляді \( a_n = (\text{вираз})^n \). Така структура робить радикальний тест особливо ефективним і простішим у використанні, ніж інші методи.

Нехай визначимо послідовність:

\[ a_n = \left( \frac{3n}{5n + 2} \right)^n \]

Щоб застосувати радикальний тест, обчислимо верхню границю \( n \)-го кореня з \( a_n \):

\[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n}{5n + 2} \right) \]

Оскільки члени є додатними, ми опускаємо модуль. Тепер спростимо вираз:

\[ \frac{3n}{5n + 2} = \frac{3}{5 + \frac{2}{n}} \longrightarrow \frac{3}{5} \quad \text{при } n \to \infty \]

Отже, отримаємо:

\[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{3}{5} < 1 \]

Оскільки границя менша за 1, радикальний тест вказує на те, що ряд збігається абсолютно.

Глосарій

  • Нескінченний ряд: сума нескінченної послідовності чисел, що зазвичай представляється як \( \sum_{n=1}^{+\infty} a_n.\)

  • Збіжність ряду: нескінченний ряд збігається, якщо послідовність його частинних сум наближається до скінченної границі.

  • Абсолютна збіжність: ряд \( \sum a_n \) збігається абсолютно, якщо ряд із абсолютних значень його членів, \( \sum |a_n| \), збігається. Абсолютна збіжність передбачає збіжність.

  • Радикальний тест: метод визначення збіжності або розбіжності нескінченного ряду шляхом аналізу границі \( n \)-го кореня з абсолютного значення його членів.

  • Верхня границя: для послідовності — найбільша гранична точка послідовності. Вона завжди визначена для обмежених послідовностей і дозволяє аналізувати довгострокову поведінку навіть якщо стандартна границя не існує.

  • Загальний член \( a_n \): формула або вираз, що визначає \( n \)-й член послідовності або ряду.

  • Геометричний ряд: ряд вигляду \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \), який збігається, якщо \( |r| < 1 \), і розбігається, якщо \( |r| \geq 1.\)

  • Ознака порівняння: тест на збіжність або розбіжність ряду шляхом його порівняння з іншим рядом, збіжність або розбіжність якого відома.