Коли геометричний ряд збігається?

Геометричний ряд збігається, коли абсолютне значення знаменника менше 1, тобто |r| < 1. У цьому випадку нескінченна сума дорівнює a / (1 - r), де a — перший член, а r — знаменник.

Геометричний ряд

Q: Що таке геометричний ряд?

Геометричний ряд — це ряд, де кожен член отримується множенням попереднього на фіксоване число, яке називається знаменником. Зазвичай він має вигляд: sum ar^n, де a — перший член, а r — знаменник.

2025-02-18

Що таке геометричний ряд

Геометричний ряд визначається як нескінченна сума:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n \]

\( r \) — знаменник ряду, який визначає, як кожен член отримується множенням попереднього на \( r \). Якщо \( r = 0 \), геометричний ряд збігається і його сума дорівнює \( 1 \), оскільки всі члени після першого дорівнюють нулю: \[ \sum_{n=0}^{\infty} 0^n = 1 + 0 + 0 + \dots = 1 \]

Якщо \( r = 1 \), ряд розбігається, оскільки послідовність часткових сум зростає необмежено: \[ s_n = 1 + 1 + \dots + 1 = n + 1 \quad \rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} s_n = \infty \]

Тоді як геометричний ряд зосереджується на сумі членів, він побудований на основі геометричної прогресії — впорядкованого списку, де кожен член отримується множенням попереднього на сталий знаменник.

Геометричний ряд є фундаментальним, оскільки його поведінка добре вивчена та точно охарактеризована. У результаті він служить еталонною моделлю для аналізу складніших рядів. Зокрема, для рядів з додатними членами геометричний ряд може використовуватися в ознаках порівняння для визначення збіжності чи розбіжності.

Якщо даний ряд можна обмежити зверху або знизу геометричним рядом, часто можна визначити характер ряду за аналогією.

\( n \)-та часткова сума геометричного ряду з \( r \ne 0 \) і \( r \ne 1 \) задається формулою:

\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 – r^{n+1}}{1 – r} \]

Цей результат отримується, починаючи з:

\[ s_n = 1 + r + r^2 + r^3 + \dots + r^n \]

Множачи обидві частини на \( r \), отримаємо:

\[ \begin{align} r \cdot s_n &= r(1 + r + r^2 + \dots + r^n) \\[0.5em] &= r + r^2 + r^3 + \dots + r^n + r^{n+1} \\ &= 1+ r + r^2 + r^3 + \dots + r^n + r^{n+1} -1 \\ \end{align} \]

В останньому члені рівняння ми додали та відняли \( +1 \). Таким чином, вираз від \( 1 + \dots + r^n \) стає \( s_n \). Підставляючи значення, отримаємо:

\[ \begin{align} r \cdot s_n &= s_n + r^{n+1} – 1 \\[0.5em] s_n (1 – r) &= 1 – r^{n+1} \end{align} \]

і нарешті:

\[ s_n = \frac{1 – r^{n+1}}{1 – r} \quad \text{for } r \ne 1 \]

Умова \( r \ne 1 \) є суттєвою; інакше знаменник стає нулем і формула невизначена.

Розглянемо тепер випадок, коли \( |r| < 1 \). У цьому випадку геометричний ряд збігається, оскільки члени стають все меншими за абсолютним значенням. Нескінченна сума може бути обчислена за формулою:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \]

Цей результат справджується, оскільки \( \lim_{n \to \infty} r^{n+1} = 0 \) при \( |r| < 1 \), що спрощує формулу для часткової суми:

\[ s_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \quad \rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} s_n = \frac{1}{1 – r} \]

У загальному випадку, коли індекс починається зі значення \( n > 0 \), наприклад \( \alpha \), формула для суми геометричного ряду набуває вигляду:

\[ \sum_{n=\alpha}^{\infty} r^n = \frac{r^{\alpha}}{1 – r} \]

У випадку, коли \( r > 1 \), геометричний ряд розбігається. Це відбувається тому, що члени \( r^n \) стають дедалі більшими при \( n \to \infty \), і послідовність часткових сум також зростає:

\[ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} r^k = \infty \]

Оскільки члени не прямують до нуля і їх сума зростає необмежено, ряд не має скінченної границі і тому розбігається.

Нарешті, у випадку, коли \( r \leq -1 \), границя \( s_n \) не існує, і ряд є невизначеним. Це відбувається тому, що члени \( r^n \) змінюють знак і зростають за величиною, спричиняючи коливання часткових сум \( s_n \) без наближення до будь-якого скінченного значення. У результаті ряд не збігається і не розбігається до нескінченності, а взагалі не має границі. Наприклад, якщо \( r = -2 \), члени стають:

\[ 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - \dots \]

і послідовність часткових сум коливається все більше без стабілізації, що робить ряд розбіжним осцилюючим та необмеженим чином.

Отже, можемо зробити висновок, що ряд:

збігається, якщо \( |r| < 1 \), і його сума дорівнює \( \dfrac{1}{1 - r} \), коли індекс починається зі значення \(n = 0\), або \( \dfrac{r^\alpha}{1 - r}\), коли індекс починається зі значення \(n > 0\);
розбігається до \( +\infty \), якщо \( r \geq 1 \);
є невизначеним, якщо \( r \leq -1 \).

Приклад

Дослідимо поведінку наступного геометричного ряду та обчислимо його суму.

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n + 4^n}{5^n}\]

За лінійністю підсумовування можемо переписати ряд як суму двох геометричних рядів:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{4}{5} \right)^n\]

Зауважимо, що знаменник обох рядів \(< 1\), отже, за властивостями геометричних рядів, обидва ряди збігаються. Тепер обчислимо суму. Нагадаємо, що сума геометричного ряду задається формулою:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 – r} \]

Маємо:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n = \frac{1}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2}\]

\[\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{4}{5} \right)^n = \frac{1}{1 – \frac{4}{5}} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5\]

Додаючи два значення, отримаємо:

\[\frac{5}{2} + 5 = \frac{15}{2}\]

Отже, ряд збігається і його сума дорівнює: \[ \frac{15}{2} \]

Геометричні ряди є одними з найпростіших для роботи, оскільки їх збіжність легко визначити, а суму можна обчислити, коли вони збігаються.

Визначте характер наступних рядів та обчисліть їх суму.

\[\text{1. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt{3} \right)^n\] розв'язання
\[\text{2. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \left( 3k + 2 \right)^n \] розв'язання
\[\text{3. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 – 2 \cos x \right)^n \] розв'язання

Запропоновані ряди ретельно підібрані, щоб допомогти вам закріпити розуміння нескінченних рядів. Спробуйте проаналізувати їх поведінку та обчислити їх суми самостійно, перш ніж перевіряти надані розв'язання.

Глосарій

Геометричний ряд: сума членів, де кожен член отримується множенням попереднього на сталий знаменник.
Геометрична прогресія: впорядкований список чисел, де кожен член після першого отримується множенням попереднього на фіксоване, ненульове число, яке називається знаменником прогресії.
Знаменник \( r \): стала величина, на яку множиться кожен член геометричного ряду або прогресії для отримання наступного члена.
Ознаки порівняння: методи, що використовуються для визначення збіжності чи розбіжності ряду шляхом порівняння його з відомим збіжним або розбіжним рядом, таким як геометричний ряд.
Осциляція: поведінка послідовності часткових сум, яка коливається без наближення до певного значення.