Ряди з додатними членами

Що таке ряд із додатними членами?

Ряд із додатними членами — це такий ряд, у якому кожен член \( a_k \) задовольняє умову \( a_k > 0 \) для всіх \( k \in \mathbb{N} \). У результаті послідовність частинних сум:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

є строго зростаючою, оскільки кожен новий член додає додатну величину. Це гарантує, що ряд не може коливатися або зменшуватися. Такий ряд має лише дві можливі поведінки: він або збігається до скінченного значення, якщо частинні суми обмежені зверху, або розбігається до нескінченності, якщо вони не обмежені. Він ніколи не є невизначеним або умовно збіжним. Більш формально, для ряду вигляду:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \quad \text{де } a_k > 0 \]

ряд збігається тоді і тільки тоді, коли послідовність частинних сум \( (S_n) \) є обмеженою. Ця властивість робить ряди з додатними членами особливо зручними для ознак збіжності, таких як ознака порівняння, інтегральна ознака та ознака Даламбера, всі з яких вимагають невід'ємних членів.

Гармонійний ряд є прикладом ряду з додатними членами, який розбігається:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \]

Фактично, попри те, що члени \( \frac{1}{k} \) прямують до нуля, послідовність частинних сум зростає без обмеження.

Загалом, ми говоримо про ряд із сталознаковими членами, коли всі члени послідовності \( {a_n} \) мають однаковий знак для кожного \( n \in \mathbb{N} \); тобто вони або всі додатні, або всі від'ємні.

Ознака порівняння

Ознака порівняння — це метод, що використовується для визначення того, чи збігається ряд, чи розбігається, шляхом його порівняння з іншим рядом, поведінка якого вже відома. Вона особливо корисна при роботі з рядами з додатними членами, де пряме обчислення збіжності є складним.

Нехай \( \sum a_k \) та \( \sum b_k \) — два ряди з додатними членами. Припустимо, що існує ціле число \( N \in \mathbb{N} \), таке що:

\[ 0 \leq a_k \leq b_k \quad \text{для всіх } k \geq N \]

Іншими словами, кожен член \( a_k \) є невід'ємним і меншим або рівним відповідному члену \( b_k \) (ця умова є важливою для правильного застосування ознаки порівняння). Тоді:

  • Якщо \( \sum b_k \) збігається, то \( \sum a_k \) також збігається.
  • Якщо \( \sum a_k \) розбігається, то \( \sum b_k \) також розбігається.

Розглянемо частинні суми кожного ряду:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k, \quad T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k \]

Оскільки обидві послідовності \( a_k \) та \( b_k \) складаються з невід'ємних членів, і \( S_n \), і \( T_n \) є неспадними. Тепер, оскільки \( a_k \leq b_k \) для всіх \( k \geq N \), маємо:

\[ S_n \leq T_n \quad \text{для всіх } n \geq N \]

Якщо ряд \( \sum b_k \) збігається, це означає, що \( T_n \) має скінченну границю — він обмежений зверху. Оскільки \( S_n \leq T_n \), послідовність частинних сум \( S_n \) також обмежена зверху. І оскільки \( S_n \) є неспадною та обмеженою, вона повинна збігатися. Отже, \( \sum a_k \) також збігається.

Якщо \( \sum a_k \) розбігається, то \( S_n \to \infty \). Але оскільки \( S_n \leq T_n \), єдиний спосіб, за якого ця нерівність може виконуватися, — це якщо \( T_n \) також зростає без обмеження. Отже, \( \sum b_k \) також розбігається.

Приклад

Використовуючи ознаку порівняння, визначимо природу наступного ряду:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \]

Цей ряд є рядом з додатними членами, оскільки знаменник є поліномом і всі члени додатні. Отже, його природу можна визначити за допомогою ознаки порівняння.

Важливо перевірити цей момент, оскільки ознака порівняння дійсна лише для рядів, у яких всі члени додатні.

Спочатку перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 + 2n + 1} = 0 \]

Очевидно, що границя має вигляд \( \frac{1}{\infty} \), що означає, що вона дорівнює нулю. Таким чином, необхідна умова збіжності виконана. На цьому етапі, використовуючи ознаку порівняння, ми можемо стверджувати, що:

\[ \frac{1}{n^2 + 2n + 1} < \frac{1}{n^2} \]

оскільки знаменник у першому виразі більший за знаменник у другому. Нехай

\[ a_n = \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \quad \text{та} \quad b_n = \frac{1}{n^2} \]

використовуючи ознаку порівняння, зауважимо, що

\[ a_n < b_n \]

Ряд

\[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]

є узагальненим гармонійним рядом, який, як відомо, збігається, коли показник у знаменнику задовольняє умову \( p > 1 \).

Звідси, за ознакою порівняння, оскільки ряд \( \sum b_n \) збігається, ряд \( \sum a_n \) також збігається.

Визначення природи ряду з додатними членами за допомогою ознаки порівняння є відносно простим, але воно потребує багато практики, щоб обрати правильний ряд для порівняння та правильно обґрунтувати нерівність.

Глосарій

  • Ряд із додатними членами: ряд, у якому кожен член \( a_k \) більший за нуль для всіх індексів \( k \).

  • Послідовність частинних сум \( S_n \): послідовність, утворена сумою перших \( n \) членів ряду, \( S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \).

  • Суворо зростаюча послідовність: послідовність, у якій кожен наступний член більший за попередній.

  • Обмежена зверху: послідовність є обмеженою зверху, якщо існує число \( M \), таке що кожен член послідовності менший або дорівнює \( M \).

  • Ряд із членами одного знака: ряд, у якому всі члени мають однаковий знак (або всі додатні, або всі від'ємні).

  • Ознака порівняння: метод, що використовується для визначення збіжності або розбіжності ряду шляхом його почленного порівняння з іншим рядом, поведінка якого вже відома.

  • Гармонічний ряд: ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \), який є відомим прикладом розбіжного ряду з додатними членами.

  • Узагальнений гармонічний ряд: ряд вигляду \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \), який є збіжним, якщо \( p > 1 \), і розбіжним, якщо \( p \leq 1 \).

  • Необхідна умова збіжності: для того щоб ряд \( \sum a_k \) був збіжним, необхідно, щоб \( \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \). Однак ця умова не є достатньою для збіжності.