Ряди

Що таке ряд

Поняття ряду тісно пов'язане з нескінченними послідовностями дійсних чисел, а основною метою є вивчення поведінки їхньої нескінченної суми. Це передбачає визначення того, чи наближається сума до скінченної границі (збіжність), чи зростає без обмеження (розбіжність). З формальної точки зору, нехай \(\lbrace a_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}\) буде послідовністю дійсних чисел. Визначимо часткові суми послідовності наступним чином:

\[ \begin{align} s_1 &= a_1\\[0.5em] s_2 &= a_1 + a_2 \\[0.5em] s_3 &= a_1 + a_2 + a_3 \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] s_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_n \end{align} \]

Послідовність \({s_n}\), де \(n \geq 1 \), називається послідовністю часткових сум, і кожен член задається як:

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

Ряд із загальним членом \(a_k\) визначається як формальний вираз:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \]

Природа ряду

Природа ряду визначається шляхом аналізу границі його послідовності часткових сум:

\[ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k \]

  • Якщо границя існує і є скінченною, то кажуть, що ряд \(\sum a_n\) збіжний. У цьому випадку значення границі називається сумою ряду.
  • Якщо границя дорівнює \(+\infty\) або \(-\infty\), то кажуть, що ряд \(\sum a_n\) розбіжний.
  • У всіх інших випадках, наприклад, коли границя не існує або коливається, ряд \(\sum a_n\) вважається невизначеним.

Кажуть, що ряд \(\sum a_k\) збігається абсолютно, якщо ряд модулів \(\sum |a_k|\) також збігається. Тобто збіжність не залежить від знаків членів.

Вираз «сума ряду» є умовним терміном: оскільки задіяна нескінченна кількість членів, це не є скінченною сумою в традиційному розумінні, а є границею послідовності часткових сум.

Зміна скінченної кількості членів у ряді не впливає на його збіжність або розбіжність. Тобто два ряди, що відрізняються лише скінченною кількістю членів, мають однакову природу збіжності. Однак вони не обов'язково мають однакову суму.

Необхідна умова збіжності

Припустимо, що ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) є збіжним. Як було розглянуто вище, це означає, що послідовність часткових сум збігається до скінченної границі. Необхідною умовою збіжності є:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]

Іншими словами, загальний член ряду повинен прямувати до нуля. Однак ця умова не є достатньою: той факт, що \(a_n \to 0\), не гарантує збіжності ряду.

Цю властивість можна довести, аналізуючи послідовність часткових сум \({s_n}\), де:

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

За означенням, якщо ряд збігається, ця послідовність повинна прямувати до скінченної границі. Нехай \(S\) буде сумою ряду; тоді:

\[ S = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} s_{n-1} \]

Оскільки і \(s_n\), і \(s_{n-1}\) збігаються до однієї й тієї ж границі \(S\), різниця між послідовними частковими сумами повинна прямувати до нуля:

\[ \lim_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} a_n = S – S = 0 \]

Лінійні властивості рядів

Нехай \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) — збіжний ряд, і нехай \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\lambda \ne 0\). Тоді ряд \(\sum_{k=1}^{\infty} \lambda a_k\) також збігається, і його сума дорівнює:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \lambda a_k = \lambda \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]

Якщо обидва ряди \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) та \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) збігаються, то їхня почленна сума також визначає збіжний ряд:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k) \]

Більше того, сума отриманого ряду дорівнює сумі окремих рядів:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \]

Відомі ряди

Розглянемо наступний ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots \]

Цей ряд називається гармонічним рядом, і він є розбіжним.

Наступний ряд називається узагальненим гармонічним рядом:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \cdots, \quad p \in \mathbb{R} \]

Збіжність ряду залежить від значення \(p\):

  • Якщо \(p > 1\), ряд збіжний.
  • Якщо \(p \leq 1\), ряд розбіжний.

Розглянемо геометричний ряд зі знаменником \(q\):

\[ \sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n + \cdots \]

Збіжність ряду залежить від значення \(q\):

  • Якщо \(-1 < q < 1\), ряд збіжний.
  • Якщо \(q \geq 1\), ряд розбіжний.
  • Якщо \(q \leq -1\), ряд є невизначеним (розбіжний або коливається).

Розглянемо наступний ряд, відомий як телескопічний ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} + \cdots = 1 \]

Цей ряд є збіжним.

Глосарій

  • Ряд: границя суми членів послідовності.

  • Послідовність: впорядкований список чисел.

  • Часткові суми \( s_n \): сума перших \( n \) членів послідовності.

  • Збіжність: ряд збігається, якщо границя його послідовності часткових сум є скінченним числом.

  • Збігатися абсолютно: ряд \( \sum a_k \) збігається абсолютно, якщо ряд абсолютних значень \( \sum |a_k| \) збіжний.

  • Розбіжність: ряд розбігається, якщо границя його послідовності часткових сум дорівнює \( +\infty \) або \( -\infty \).

  • Невизначеність: ряд є невизначеним, якщо границя його послідовності часткових сум не існує або коливається.

  • Сума ряду: скінченна границя послідовності часткових сум для збіжного ряду.

  • Загальний член \( a_n \) або \( a_k \): формула або вираз, що визначає кожен член послідовності або ряду.