Дискретні випадкові величини
Означення дискретної випадкової величини
Дискретна випадкова величина — це функція, яка кожному елементу дискретного простору елементарних подій присвоює дійсне число. Іншими словами, вона відображає можливі результати випадкового експерименту в числові значення, які можна аналізувати статистично. Формально, дискретна випадкова величина — це функція:
\[ X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \]
де \(\Omega\) — дискретний простір елементарних подій.
Коли простір елементарних подій є неперервним і складається з нескінченної кількості нескінченно близьких результатів, ми говоримо про неперервні випадкові величини.
Щоб проілюструвати цю концепцію простим способом, розглянемо експеримент, у якому одну кістку кидають двічі, і нехай випадкова величина \(X\) позначає кількість отриманих шісток. Можливими значеннями \(X\) є 0, 1 та 2, де \(0\) означає, що за два кидки шістка не випала, \(1\) означає, що випала рівно одна шістка, а \(2\) означає, що обидва кидки показали шістку.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \[f(x)\] | \[\frac{25}{36}\] | \[\frac{10}{36}\] | \[\frac{1}{36}\] |
де \(x\) представляє можливі результати випадкової величини \(X\), а \(f(x)\) представляє ймовірність, пов'язану з кожним результатом. Ймовірності задовольняють умову:
\[ \sum f(x) = 1 \]
Це узгоджується з законом повної ймовірності, який стверджує, що сума ймовірностей усіх взаємовиключних результатів випадкової величини повинна дорівнювати \(1\). Це гарантує, що розподіл ймовірностей враховує кожну можливу подію в експерименті.
Оскільки обчислення ймовірностей спочатку можуть бути складними, нижче показано, як отримано значення \(f(x)\) для 0, 1 та 2.
\[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \\[1em] P(X = 1) &= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{36} \\[1em] P(X = 2) &= \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \end{aligned} \]
- У випадку \(x = 0\) обидві кістки показують числа, відмінні від шістки. Оскільки ймовірність того, що шістка не випаде за один кидок, становить \(\tfrac{5}{6}\), то ймовірність того, що це станеться двічі поспіль, дорівнює \(\left(\tfrac{5}{6}\right)^2\).
- У випадку \(x = 1\) за два кидки випадає рівно одна шістка. Є два можливих варіанти, як це може статися: перша кістка показує шістку, а друга — ні,
або перша не показує шістку, а друга показує. Кожна така подія має ймовірність \(\tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6}\), тому загальна ймовірність становить \(2 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6}\). - Нарешті, у випадку \(x = 2\) обидві кістки показують шістку. Оскільки ймовірність випадіння шістки на одній кістці становить \(\tfrac{1}{6}\), ймовірність того, що це відбудеться двічі поспіль, дорівнює \(\left(\tfrac{1}{6}\right)^2\).
Дискретний розподіл ймовірностей
Дискретна випадкова величина має певну ймовірність набуття кожного зі своїх можливих значень.
Ця ймовірність описується функцією \(f(x)\), яка називається функцією ймовірності або дискретним розподілом ймовірностей. Для такого розподілу мають виконуватися такі умови:
\[ \begin{aligned} & f(x) \ge 0 \\[8pt] & \sum_x f(x) = 1 \\[5pt] & P(X = x) = f(x) \end{aligned} \]
Ці умови гарантують, що всі ймовірності є невипадковою (невід'ємними), що їхня сума дорівнює одиниці,
і що ймовірність конкретного значення \(x\) точно задається відповідним значенням \(f(x)\).
При роботі з дискретною випадковою величиною \(X\) часто корисно описати ймовірність того, що \(X\) набуде значення до певного порогу (x). Це призводить до означення функції розподілу, що позначається як \(F(x)\):
\[ F(x) = P(X \le x) = \sum_{t \le x} f(t) \]
Функція \(F(x)\) виражає загальну ймовірність, накопичену до \(x\). Вона визначена для всіх дійсних значень \(x\) і зростає крок за кроком, коли додається нова ймовірнісна маса. Будучи за своєю природою кумулятивною, \(F(x)\) завжди є неспадною і ніколи не перевищує \(1\). Щоб краще проілюструвати цю концепцію, повернемося до прикладу з киданням двох кубиків і покажемо, як будується функція розподілу. Випадкова величина \(X\) представляє кількість отриманих шісток. Її функція ймовірності така:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \[f(x)\] | \[\frac{25}{36}\] | \[\frac{10}{36}\] | \[\frac{1}{36}\] |
Функція розподілу (F(x)) отримується шляхом додавання ймовірностей
до кожного значення \(x\):
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \[F(x)\] | \[\frac{25}{36}\] | \[\frac{35}{36}\] | \[1\] |
Фактично, ми маємо:
\[ \begin{aligned} F(0) &= P(X \le 0) = f(0) = \tfrac{25}{36} \\[6pt] F(1) &= P(X \le 1) = f(0) + f(1) = \tfrac{25}{36} + \tfrac{10}{36} = \tfrac{35}{36} \\[6pt] F(2) &= P(X \le 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1 \end{aligned} \]
Функція \(F(x)\) показує, як накопичується ймовірність зі збільшенням \(x\). Вона починається з \(\tfrac{25}{36}\), коли шісток не отримано, і досягає 1, коли враховано всі можливі результати.
Сумісні розподіли ймовірностей
У випадках, коли простір елементарних подій є багатовимірним, тобто кожен результат залежить від двох або більше випадкових величин, відповідні ймовірності описуються сумісними розподілами ймовірностей для дискретних випадкових величин. У деяких експериментах дві дискретні випадкові величини можуть виникати разом, кожна з яких набуває певних значень у межах одного результату. Ймовірність такої спільної появи описується функцією \(f(x, y)\), яка присвоює ймовірність кожній можливій парі \((x, y)\). Маємо:
\[ f(x, y) = P(X = x; \quad Y = y) \]
Ця функція виражає, наскільки ймовірно, що \(X\) набуде значення \(x\), тоді як одночасно \(Y\) набуде значення \(y\). Для сумісних розподілів ймовірностей мають виконуватися такі умови:
\[ \begin{aligned} & f(x, y) \ge 0 \quad \forall \ (x, y) \\[8pt] & \sum_x \sum_y f(x, y) = 1 \\[5pt] & P(X = x; \ Y = y) = f(x, y) \end{aligned} \]
Ці умови стверджують, що всі ймовірності є невід'ємними, що їхня загальна сума по всіх можливих парах \((x, y)\) дорівнює одиниці, і що кожна сумісна ймовірність \(P(X = x, Y = y)\) представлена значенням \(f(x, y)\).
Приклад 1
Щоб краще проілюструвати концепцію сумісного розподілу ймовірностей для дискретних випадкових величин, розглянемо наступний простий приклад. Розглянемо маленьку коробку, що містить 4 кулі: 2 білі та 2 чорні. Дві кулі вибирають випадковим чином без повернення. Нехай:
- \(X\) = кількість витягнутих чорних куль
- \(Y\) = кількість витягнутих білих куль
Можливі пари \((x, y)\) представляють усі комбінації чорних і білих куль, які можуть бути витягнуті. Оскільки витягують лише дві кулі, \(x + y = 2\), і можливими парами є:
\[ (0, 2),\ (1, 1),\ (2, 0) \]
Сумісний розподіл ймовірностей \(f(x, y)\) задається як:
\[ f(x, y) = \frac{\binom{2}{x}\binom{2}{y}}{\binom{4}{2}} \]
Представивши значення, що набуває кожна пара \((x, y)\), ми отримаємо наступну таблицю, що відображає сумісний розподіл ймовірностей \(f(x, y)\):
\[ \begin{array}{c|ccc|c} f(x, y) & 0 & 1 & 2 & \text{Разом} \\[6pt] \hline 0 & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\[6pt] 1 & \frac{0}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} & \frac{4}{6} \\[6pt] 2 & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} \\[6pt] \hline \text{Разом} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{4}{6} & \tfrac{1}{6} & 1 \end{array} \]
Цей приклад допомагає візуалізувати, як імовірності можуть бути розподілені між двома дискретними випадковими величинами. Кожна клітинка в таблиці представляє ймовірність конкретної комбінації витягнутих чорних і білих кульок. Сумуючи по рядках і стовпцях, ми отримаємо маргінальні ймовірності \(X\) та \(Y\), що підтверджує, що загальна ймовірність усіх можливих результатів дорівнює одиниці.