Середнє арифметичне
Що таке середнє арифметичне?
Середнє арифметичне — це найпоширеніша та найінтуїтивніша форма середнього значення. Як особливий випадок у ширшому сімействі степеневих середніх, воно виражає репрезентативне значення набору даних шляхом ділення загальної суми всіх спостережень на їхню кількість. Оскільки воно ґрунтується на адитивній агрегації, середнє арифметичне ідеально підходить для опису величин, що комбінуються лінійно (наприклад, сирі вимірювання або значення, що не змінюються пропорційно або експоненціально). По суті, воно визначає точку рівноваги розподілу, значення, навколо якого дані мають тенденцію до балансування.
У загальному вигляді середнє арифметичне виражається як:
\[ M_a = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \]
де \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — це значення спостережень, а \( n \) — загальна кількість елементів.
- Середнє арифметичне може бути застосоване до будь-якої множини дійсних чисел, включаючи від'ємні значення та нуль.
- Оскільки воно чутливе до екстремальних значень, середнє арифметичне може бути викривлене викидами, що робить інші середні, такі як медіана або середнє геометричне, більш доречними в деяких випадках.
- Середнє арифметичне завжди більше або дорівнює середньому геометричному.
Приклад 1
Розглянемо наступний набір даних із п'яти числових значень і обчислимо середнє арифметичне:
| \(\mathbf{xᵢ}\) | Значення |
|---|---|
| x₁ | 7.2 |
| x₂ | 4.8 |
| x₃ | 9.1 |
| x₄ | 5.5 |
| x₅ | 6.4 |
У цьому випадку \( n = 5 \). Підставляючи значення, отримаємо:
\[ M_a = \frac{7.2 + 4.8 + 9.1 + 5.5 + 6.4}{5} = \frac{33.0}{5} = 6.6 \]
Отже, середнє арифметичне цього ряду приблизно дорівнює: \[ M_a = 6.6 \]
Зважене середнє арифметичне
У деяких випадках не всі точки даних вносять рівний вклад у загальний результат. Зважене середнє арифметичне розширює ідею простого середнього арифметичного, присвоюючи кожному спостереженню \( x_i \) вагу \( w_i \), що відображає його відносну важливість або частоту в наборі даних. Воно визначається як:
\[ M_{aw} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]
де \( x_i \) — значення спостережень, а \( w_i > 0 \) — відповідні їм ваги.
- Зважене середнє арифметичне узагальнює просте середнє арифметичне шляхом введення коефіцієнтів важливості \( w_i \).
- Це забезпечує сильніший вплив більших або більш релевантних спостережень на кінцевий результат.
- Коли всі ваги рівні, зважене середнє арифметичне зводиться до стандартного середнього арифметичного.
Приклад 2
Розглянемо бізнес-кейс, де компанія хоче обчислити зважене середнє арифметичне своїх щомісячних продажів. Кожен місяць має різну кількість робочих днів, які слугують вагами для обчислення.
| Місяць | \(x_i\) = щоденні продажі в $ | \(w_i\) = робочі дні |
|---|---|---|
| Січень | 420 | 20 |
| Лютий | 380 | 22 |
| Березень | 460 | 18 |
| Квітень | 400 | 21 |
| Травень | 440 | 19 |
Застосувавши формулу зваженого середнього арифметичного, отримаємо:
\[ \begin{align} M_{aw} &= \frac{(420 \times 20) + (380 \times 22) + (460 \times 18) + (400 \times 21) + (440 \times 19)}{20 + 22 + 18 + 21 + 19} \\[10pt] &= \frac{8400 + 8360 + 8280 + 8400 + 8360}{100} \\[3pt] &= \frac{41800}{100} \\[10pt] &= 418 \end{align} \]
Звідси, зважене середнє арифметичне продажів компанії становить \(M_{aw} = 418\) $ на день.