Середнє геометричне
Що таке середнє геометричне?
Середнє геометричне належить до родини степеневих середніх. На відміну від простого середнього арифметичного, воно засноване на добутку елементів, а не на їх сумі, що робить його особливо корисним для вимірювання середніх темпів зростання, прибутковості в часі або величин, що змінюються мультиплікативно. Воно відображає центральну тенденцію даних, що розвиваються через пропорційні або відсоткові зміни, забезпечуючи точніше представлення, ніж середнє арифметичне, при роботі з відношеннями, індексами або складними явищами.
У загальній формі середнє геометричне виражається як:
\[ M_g = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} \]
де \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — додатні значення, а \( n \) — загальна кількість елементів.
- Середнє геометричне може бути застосоване лише до множини значень, загальний добуток яких є додатним, оскільки обчислення передбачає як множення, так і добування кореня.
- Оскільки воно оперує добутками, середнє геометричне тісно пов'язане з експоненціальним зростанням.
- Середнє геометричне завжди менше або дорівнює середньому арифметичному.
Логарифмічна форма середнього геометричного
Інший корисний спосіб виразити середнє геометричне — через його логарифмічну форму. У цьому представленні середнє геометричне множини додатних значень \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) може бути записане як:
\[ M_g = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i \right) \]
- При логарифмуванні добутки перетворюються на суми, а степені — на множники, що значно спрощує як обчислення, так і інтерпретацію.
- Ця формула показує, що середнє геометричне є експонентою середнього арифметичного логарифмів значень даних.
- Логарифмічна форма особливо зручна при роботі з числами, що охоплюють кілька порядків величини, або коли пряме множення може спричинити обчислювальні проблеми.
Приклад 1
Розглянемо наступний набір даних з п'яти додатних значень:
| \(\mathbf{x_i}\) | Значення |
|---|---|
| \(x_1\) | 2.0 |
| \(x_2\) | 3.5 |
| \(x_3\) | 4.0 |
| \(x_4\) | 5.5 |
| \(x_5\) | 6.0 |
У цьому випадку \( n = 5 \). Підставляючи значення, отримаємо:
\[ M_g = (2.0 \times 3.5 \times 4.0 \times 5.5 \times 6.0)^{\frac{1}{5}} \]
\[ M_g = (924)^{\frac{1}{5}} \approx 3.93 \]
Середнє геометричне дає уявлення про типове мультиплікативне значення в наборі даних. Тоді як середнє арифметичне цих чисел становить \( (2.0 + 3.5 + 4.0 + 5.5 + 6.0)/5 = 4.2 \), середнє геометричне дещо менше (\( 3.93 \)), оскільки воно надає менше ваги більшим значенням і більше — меншим.
Отже, середнє геометричне ряду приблизно дорівнює:
\[M_g \approx 3.93\]
Приклад 2
Розглянемо, як середнє геометричне може бути застосоване для визначення загальної середньої прибутковості акцій за певний період. У фінансах інвестиційна прибутковість комбінується мультиплікативно, а не адитивно — результат кожного місяця нараховується на попередні, впливаючи на загальний результат нелінійно. Середнє геометричне природно відображає цей ефект складних відсотків, пропонуючи точнішу міру справжнього середнього темпу зростання активу, ніж середнє арифметичне.
У наступному прикладі ми обчислимо середнє геометричне місячних прибутковостей Tesla за перші п'ять місяців 2025 року для оцінки середньої місячної ефективності за цей період.
| Місяць (2025) | Прибутковість |
|---|---|
| Січень | +12.4% |
| Лютий | –3.8% |
| Березень | +7.6% |
| Квітень | +2.1% |
| Травень | +4.5% |
При роботі з відсотковими прибутковостями пряме множення може швидко призвести до дуже малих або хибних значень, особливо коли є від'ємні прибутковості. Щоб правильно це обробити, кожна відсоткова прибутковість \( x_i \) спочатку перетворюється на фактор зростання шляхом додавання \(1\) (тобто \( 1 + x_i \)). Потім ці фактори перемножуються, добувається корінь \( n \)-го степеня, і нарешті віднімається 1, щоб повернути результат до відсоткової форми.
\[ M_g = \left[ \prod_{i=1}^{n} (1 + x_i) \right]^{\frac{1}{n}} – 1 \]
Розглядаючи значення для п'яти періодів, отримаємо:
\[ \begin{align} M_g &= \left[(1.124) \times (0.962) \times (1.076) \times (1.021) \times (1.045)\right]^{\tfrac{1}{5}} – 1 \\[3pt] &= 1.0442 – 1 \\[3pt] &= 0.0442 \\[3pt] &= 4.42\% \end{align} \]
Отже, середня місячна прибутковість акцій Tesla за перші п'ять місяців 2025 року становила приблизно \(4.4\%\).
Зважене середнє геометричне
У деяких випадках не всі точки даних роблять однаковий внесок у загальний результат. Зважене середнє геометричне розширює ідею стандартного середнього геометричного, призначаючи вагу \( w_i \) кожному спостереженню \( x_i \), що відображає його відносну важливість або частоту в наборі даних. Воно визначається як:
\[ M_{gw} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i} \right)^{\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} w_i}} \]
де \( x_i > 0 \) — спостережувані значення, а \( w_i > 0 \) — відповідні ваги.
- Зважене середнє геометричне узагальнює просте середнє геометричне шляхом введення факторів важливості \( w_i \).
- Воно забезпечує, що більші або більш значущі спостереження мають сильніший вплив на кінцевий результат.
- Коли всі ваги рівні, зважене середнє геометричне зводиться до стандартного середнього геометричного.
Приклад 3
Розглянемо той самий приклад з Tesla, цього разу застосовуючи набір довільних ваг, обраних відповідно до обґрунтування, наведеного у примітці.
| Місяць | Прибутковість | Вага |
|---|---|---|
| Січень | +12.4% | 3 |
| Лютий | –3.8% | 1 |
| Березень | +7.6% | 2 |
| Квітень | +2.1% | 1 |
| Травень | +4.5% | 3 |
Січень — період сильного зростання, вища важливість. Лютий — від'ємний місяць, нижча важливість. Березень — часткове відновлення, середня вага. Квітень — стабільний місяць, обмежений вплив. Травень — позитивна динаміка, вища важливість.
Тепер обчислимо зважене середнє геометричне, враховуючи фактори зростання \((1 + x_i)\) та відповідні ваги \(w_i\), призначені кожному спостереженню. Отримаємо:
\[ \begin{align} M_{gw} &= \left[(1.124)^3 \times (0.962)^1 \times (1.076)^2 \times (1.021)^1 \times (1.045)^3\right]^{\tfrac{1}{10}} – 1 \\[3pt] &= (1.5566)^{0.1} – 1 \\[3pt] &= 1.0455 – 1 \\[3pt] &= 0.0455 \\[3pt] &= 4.55\% \end{align} \]
У цьому випадку показник \( \tfrac{1}{10} \) отримано як обернене значення суми всіх ваг. Оскільки ваги, призначені кожному місяцю, становлять \( w_i = {3, 1, 2, 1, 3} \), їх сума дорівнює \( \sum w_i = 10 \).
Отже, після застосування обраних ваг, зважена середня місячна прибутковість Tesla за перші п'ять місяців 2025 року становила приблизно \(4.55\%\) — дещо вище незваженого значення через більший вплив місяців з позитивною динамікою.