Інтеграл показникової функції

Як обчислюється інтеграл від покажчикової функції

Покажчикова функція — це функція вигляду \( e^x \) або \( \alpha^x \) (де \( \alpha > 0 \) та \( \alpha \neq 1 \)). Загалом, число \( e \) посідає центральне місце в аналізі, оскільки це єдина основа, для якої покажчикова функція відтворює саму себе при диференціюванні. Для загальної покажчикової функції \( \alpha^x \) при \( \alpha > 0 \) диференціювання вводить неминучий множник:

\[ \frac{d}{dx}\alpha^x = \alpha^x \ln \alpha \]

Цей логарифмічний член відображає, як обрана основа масштабує зростання функції. Існує рівно один випадок, коли цей додатковий множник зникає. Якщо \( \ln \alpha = 1 \), ми маємо:

\[ \frac{d}{dx}\alpha^x = \alpha^x \]

Єдиним числом, що задовольняє цю умову, є \( e \approx 2.718 \). Таким чином, \( e^x \) — єдина покажчикова функція, яка залишається незмінною при диференціюванні. Така ж простота поширюється і на інтегрування. Ця структурна властивість пояснює, чому \( e \) відіграє таку фундаментальну роль.

Вміння обчислювати інтеграл від таких функцій є дуже корисним у вправах, що містять покажчикові вирази. Розглянемо два випадки.

Інтеграл від \( e^x \) задається формулою: \[\int e^x \,dx = e^x + c \tag{1} \] Дійсно, можна довести, що похідна від \( e^x \) — це сама \( e^x \). Диференціюючи результат інтегрування: \[ D[e^x + c] = D[e^x] + D[c] = e^x + 0 = e^x \]

Заглибтеся в те, як число Ейлера \(e\) може бути визначене як границя відомої послідовності.

Інтеграл від \(\alpha^x\) задається формулою: \[\int \alpha^x \,dx =\frac{1}{\ln\alpha} \cdot \alpha^x + c \tag{2}\] Фактично, ми маємо: \[ D \left[ \frac{1}{\ln \alpha} \cdot \alpha^x + c \right] = \frac{1}{\ln \alpha} \cdot (\ln \alpha \cdot \alpha^x) = \alpha^x \]

Канонічні форми покажчикових інтегралів

У кожному рядку зліва наведено стандартний покажчиковий підінтегральний вираз, а справа — відповідна йому первісна. Ці канонічні шаблони охоплюють форми, що найчастіше зустрічаються в задачах на інтегрування.
  • \[ \text{1. } \quad \int e^x \, dx\] \[ e^x + c \]
  • \[ \text{2. } \quad \int \alpha^x \, dx\] \[ \dfrac{1}{\ln \alpha}\,\alpha^x + c \]
  • \[ \text{3. } \quad \int e^{ax+b} \, dx\] \[ \dfrac{1}{a} \,e^{ax+b} + c \]
  • \[ \text{4. } \quad \int \alpha^{ax} \, dx\] \[ \dfrac{1}{a \ln \alpha}\,\alpha^{ax} + c \]
  • \[ \text{5. } \quad \int e^{f(x)} f’(x) \, dx\] \[ e^{f(x)} + c \]

Покажчикові функції зберігають свою структуру при інтегруванні: форма залишається незмінною, і лише множна стала відображає швидкість, закодовану в покажчику.

Приклад 1

Розглянемо наступний інтеграл: \[\int e^x + 3^x \,dx\]

За властивістю лінійності інтеграла, інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів:

\[\int (f(x) + g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x) \,dx\]

Маємо:

\[\int e^x + 3^x \, dx = \int e^x \, dx + \int 3^x \, dx\]

Перший інтеграл легко виводиться з \( (1) \): \[\int e^x \, dx = e^x + c\]

Другий інтеграл виводиться з \( (2) \): \[\int 3^x \, dx = \frac{1}{\ln3} \cdot 3^x + c\]

Таким чином, наш інтеграл набуває вигляду:

\[ e^x + \frac{1}{\ln3} \cdot 3^x + c \]

Покажчикова функція з лінійним аргументом

На практиці покажчик рідко є просто \(x\). Дуже поширеною ситуацією є покажчикова функція, аргументом якої є лінійна функція \(ax + b\), де \(a \neq 0\). У такому разі ми маємо:

\[ \int e^{ax+b} \,dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + c \]

Множник \(\frac{1}{a}\) точно компенсує те, що правило диференціювання складеної функції вводить при диференціюванні. Для перевірки:

\[ D \! \left[\frac{1}{a} e^{ax+b} + c\right] = \frac{1}{a} \cdot a \cdot e^{ax+b} = e^{ax+b} \]

Загалом, коли покажчик є диференційовною функцією \(f(x)\), інтегрування методом підстановки дає:

\[ \int e^{f(x)} \cdot f’(x) \,dx = e^{f(x)} + c \]

Якщо підінтегральний вираз містить покажчикову функцію \(e^{f(x)}\), помножену на похідну від її власного покажчика, інтеграл просто зводиться до \(e^{f(x)} + c\). Якщо \(f’(x)\) відсутній, спочатку потрібні алгебраїчні перетворення або підстановка.

Те саме міркування на основі правила диференціювання складеної функції застосовується до покажчикових функцій з довільною основою \( \alpha \). Якщо покажчик — це \( ax \) замість просто \( x \), диференціювання дає два множники: коефіцієнт \( a \) від покажчика та \( \ln \alpha \) від основи. З цієї причини ми маємо:

\[ \int \alpha^{ax} \, dx = \frac{1}{a \ln \alpha} \, \alpha^{ax} + c \]

Пряме диференціювання підтверджує цю формулу. Ця тотожність корисна на практиці, оскільки вирази такого типу часто з'являються на проміжних етапах при спрощенні складніших інтегралів.

Приклад 2

Тепер розглянемо наступний інтеграл, який на перший погляд здається дещо складнішим за той, що був наведений у прикладі 1.

\[\int 8^x \cdot 2^{(-3x + 4)} \, dx\]

Щоб розв'язати його, ми можемо скористатися властивостями степенів. Ми можемо переписати:

\[ 2^{-3x+4} = 2^{-3x} \cdot 2^4 = 2^{-3x} \cdot 16 \]

Тоді інтеграл набуває вигляду:

\[ \begin{aligned} 16 \int 8^x \cdot 2^{-3x} \, dx &= 16 \int (2^3)^x \cdot 2^{-3x} \, dx \\[6pt] &= 16 \int 2^{3x} \cdot 2^{-3x} \, dx \\[6pt] &= 16 \int 2^{3x-3x} \, dx \\[6pt] &= 16 \int 1 \, dx \end{aligned} \]

Отримаємо:

\[16x + c\]

Приклад 3

Розглянемо наступний інтеграл: \[\int 9^{x-1} \cdot 3^{-x+2} \, dx\]

Ми можемо переписати інтеграл, використовуючи властивості степенів: \[\int 9^x \cdot 9^{-1} \cdot 3^{-x} \cdot 3^2 \, dx = \int 9^x \cdot 9^{-1} \cdot 3^{-x} \cdot 9 \, dx \]

Спрощуючи доданки, отримаємо: \[\int 9^x \cdot 3^{-x} \, dx = \int 3^{2x} \cdot 3^{-x} \, dx = \int 3^{x} \, dx \]

Ми звели інтеграл до вигляду: \[\int \alpha^x \,dx\]

Отримаємо

\[\frac{1}{\ln3} \cdot 3^x + c\]

Приклад 4

Розглянемо наступний інтеграл:

\[ \int e^{3x - 2} \, dx \]

Показник степеня є лінійним, тому це пряме застосування стандартного правила для показових функцій вигляду \( e^{ax+b} \). Оскільки похідна від \( 3x – 2 \) дорівнює \( 3 \), ми компенсуємо це, поділивши на \( 3 \).

\[ \int e^{3x-2} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x-2} + c \]

Завжди варто перевірити результат. Диференціювання \( \frac{1}{3} e^{3x-2} \) дає:

\[ \frac{1}{3} \cdot 3 e^{3x-2} = e^{3x-2} \]

отже, обчислення є правильним.

Розв'язання: \[\frac{1}{3} e^{3x-2} + c\]

Поширена помилка

Частою причиною помилок є наявність коефіцієнта в показнику степеня. Легко написати:

\[ \int e^{3x-2}\,dx = e^{3x-2} + c \]

і пропустити множник \( \frac{1}{3} \). Проблема стає очевидною, як тільки ми диференціюємо результат:

\[ \frac{d}{dx} e^{3x-2} = 3 e^{3x-2} \]

що не є початковим підінтегральним виразом, а в три рази перевищує його. Перевірка займає лише мить і відразу виявляє невідповідність. Щоразу, коли показник має вигляд \( ax + b \) при \( a \neq 1 \), компенсуючий множник \( \frac{1}{a} \) є необхідним.

Приклад 5

Розглянемо тепер наступний інтеграл, щоб дослідити цю нову ситуацію:

\[ \int x \, e^{x^2} \, dx \]

Тут показник степеня \( x^2 \) не є лінійним, тому попереднє правило для \( e^{ax+b} \) не можна застосувати безпосередньо. Однак структура підінтегрального виразу підказує, що робити. Похідна від \( x^2 \) дорівнює \( 2x \), а множник \( x \) вже присутній. Ми переписуємо інтеграл, ввівши сталу:

\[ \int x \, e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int 2x \, e^{x^2} \, dx \]

Тепер підінтегральний вираз має вигляд \( e^{f(x)} f’(x) \) при \( f(x) = x^2 \). У цій ситуації інтегрування є миттєвим:

\[ \frac{1}{2} e^{x^2} + c \]

Швидка перевірка підтверджує результат. Диференціювання \( \frac{1}{2} e^{x^2} \) дає:

\[ \frac{1}{2} \cdot 2x \, e^{x^2} = x e^{x^2} \]

що відповідає початковому підінтегральному виразу.

Розв'язання: \[ \frac{1}{2} e^{x^2} + c \]

Коли відповідний множник відсутній

Корисно зауважити, що станеться, якщо прибрати множник \( x \). Інтеграл:

\[ \int e^{x^2}\,dx \]

не має первісної, яку можна було б записати за допомогою елементарних функцій. Замість цього він виражається через функцію помилок \( \mathrm{erf}(x) \). Вона визначається інтегралом:

\[ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt \]

На відміну від елементарних функцій, таких як поліноми, показові або тригонометричні функції, \( \mathrm{erf}(x) \) визначається безпосередньо через інтеграл. Вона була введена саме тому, що інтеграли вигляду \( \int e^{-t^2} dt \) не можуть бути виражені у замкненій елементарній формі.

Це показує, що множник \( x \) у попередньому прикладі забезпечив, з точністю до сталої, похідну показника \( x^2 \). Без цієї відповідності проста структура зникає, і інтеграл більше не можна обчислити за допомогою тих самих елементарних засобів.

Вибрана література