Похідна складеної функції

Правило łaнцюга

Нехай \( g \) є диференційовною в точці \( x \), а \( f \) є диференційовною в точці \( z = g(x) \). Тоді складена функція \( y = f(g(x)) \) є диференційовною в точці \( x \), і її похідна є добутком похідної \( f \), обчисленої в точці \( g(x) \), та похідної \( g \) в точці \( x \):

\[ D[f(g(x))] = f’(g(x)) \cdot g’(x) \]

Цей результат відомий як правило łaнцюга. Воно стверджує, що для диференціювання складеної функції необхідно похідну зовнішньої функції, обчислену у внутрішньої функції, помножити на похідну внутрішньої функції.

У позначеннях Лейбніца, якщо \( y = f(u) \) та \( u = g(x) \), правило łaнцюга набуває вигляду:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Доведення

Щоб довести, що \(D[f(g(x))] = f’(g(x)) \cdot g’(x)\), обчислимо наступну границю:

\[ D[f(g(x))] = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h))-f(g(x))}{h} \]

Нехай \( z = g(x) \), тоді \( g(x+h)-g(x) = \Delta z. \) Це означає, що \( g(x+h) = g(x) + \Delta z. \) Границя набуває вигляду:

\[ D[f(g(x))] = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{h} \]

Множачи і чисельник, і знаменник на \( \Delta z \), отримаємо:

\[ \begin{aligned} D[f(g(x))] &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z + \Delta z)-f(z)}{\Delta z} \cdot \frac{\Delta z}{h} \\[0.5em] &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z + \Delta z)-f(z)}{\Delta z} \cdot \frac{g(x + h)-g(x)}{h} \\[0.8em] &= f’(z) \cdot g’(x)\\[1em] &= f’(g(x)) \cdot g’(x) \end{aligned} \]

Цей аргумент припускає, що \( \Delta z \neq 0 \) для достатньо малих \( h \). Повне доведення розглядає випадок \( \Delta z = 0 \) окремо за допомогою допоміжної функції; висновок залишається таким самим.

У випадку степенів функції правило узагальнюється наступним чином:

\[ D[f(x)^a] = a[f(x)]^{a-1}f’(x) \]

Приклад 1

Обчислимо похідну наступної складеної функції:

\[ y = f(g(x)) = \sin(3x^2 + 2x) \]

У цьому випадку маємо:

  • Внутрішня функція \( g(x) = 3x^2 + 2x \)
  • Зовнішня функція \( f(t) = \sin(t) \), де \( t = g(x) = 3x^2 + 2x \)

Зовнішня функція — \( f(t) = \sin(t) \). Її похідна:

\[ f’(t) = \cos(t) \]

Підставляючи \( t = g(x) \):

\[ f’(g(x)) = \cos(3x^2 + 2x) \]

Внутрішня функція — \( g(x) = 3x^2 + 2x \). Її похідна:

\[ g’(x) = 6x + 2 \]

Застосовуючи правило łaнцюга, отримаємо:

\[ D[f(g(x))] = f’(g(x)) \cdot g’(x) \]

Результат:

\[(6x + 2)\cos(3x^2 + 2x)\]

Дослідіть випадок складених степеневих функцій, зокрема обчислення похідної функцій типу: \[ D[f(x)^{g(x)}] \]

Застосування до багатократних складень

Правило łaнцюга можна розширити на складення, що включають три або більше функцій. Наприклад, якщо задано \( y = f(g(h(x))) \), то похідна дорівнює:

\[ D[f(g(h(x)))] = f’(g(h(x))) \cdot g’(h(x)) \cdot h’(x) \]

Кожен множник представляє похідну функції у складенні, обчислену в точці складення всіх наступних функцій. Ця модель узагальнюється для будь-якої скінченної кількості вкладених функцій. Для \( y = f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots)) \) похідна задається добутком:

\[ f_1’(f_2(\cdots f_n(x)\cdots)) \cdot f_2’(f_3(\cdots f_n(x)\cdots)) \cdots f_{n-1}'(f_n(x)) \cdot f_n’(x) \]

На практиці диференціювання відбувається від найзовнішньої функції всередину, при цьому кожна похідна обчислюється послідовно, а результати перемножуються.

Як приклад, розглянемо \( y = \sin(e^{3x}) \). Складення включає три функції:

\[ \begin{align} h(x) &= 3x \\[6pt] g(t) &= e^t \\[6pt] f(s) &= \sin(s) \end{align} \]

Застосовуючи правило łaнцюга зовні всередину, отримаємо:

\[ \begin{align} D[\sin(e^{3x})] &= \cos(e^{3x}) \cdot e^{3x} \cdot 3 \\[6pt] &= 3e^{3x}\cos(e^{3x}) \end{align} \]

Приклад 2

Розглянемо наступну функцію:

\[ y = \ln\left(e^{x^2} + 1\right) \]

Складення включає три функції:

\[ \begin{align} h(x) &= x^2 \\[6pt] g(t) &= e^t + 1 \\[6pt] f(s) &= \ln(s) \end{align} \]

Похідна зовнішньої функції \( f(s) = \ln(s) \) дорівнює \( f’(s) = \frac{1}{s} \), обчислена в точці \( s = g(h(x)) = e^{x^2} + 1 \):

\[ f’(g(h(x))) = \frac{1}{e^{x^2} + 1} \]

Похідна середньої функції \( g(t) = e^t + 1 \) дорівнює \( g’(t) = e^t \), обчислена в точці \( t = h(x) = x^2 \):

\[ g’(h(x)) = e^{x^2} \]

Похідна внутрішньої функції \( h(x) = x^2 \) дорівнює:

\[ h’(x) = 2x \]

Застосовуючи правило łaнцюга зовні всередину:

\[ \begin{align} D\left[\ln\left(e^{x^2} + 1\right)\right] &= \frac{1}{e^{x^2} + 1} \cdot e^{x^2} \cdot 2x \\[6pt] &= \frac{2x e^{x^2}}{e^{x^2} + 1} \end{align} \]

Результат:

\[\frac{2x e^{x^2}}{e^{x^2} + 1}\]

Вибрана література