Поля

Властивості

Кілька властивостей випливають безпосередньо з аксіом і варті того, щоб бути зафіксованими явно. Для будь-якого \(a \in F\) множення на нуль задовольняє рівність \(a \cdot 0 = 0\). Це не припускається, а виводиться: записують \(a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\) і потім скорочують \(a \cdot 0\) з обох сторін, використовуючи структуру адитивної групи.

Поле не містить дільників нуля. Якщо \(a \cdot b = 0\) і \(a \neq 0\), то \(a\) є оберненим, і отримаємо \(b = a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0 = 0\). Це означає, що в полі добуток двох ненульових елементів завжди є ненульовим, що є властивістю, яка робить можливим скорочення в усій алгебрі. Адитивна та мультиплікативна структури взаємодіють через тотожність:

\[ (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b) \]

Цей вираз виконується для всіх \(a, b \in F\). Зокрема, добуток двох від'ємних елементів є додатним у тому сенсі, що \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\), що є наслідком аксіом, а не домовленістю.

Приклади

Множина \(\mathbb{Q}\) раціональних чисел, оснащена звичайним додаванням та множенням, є найменшим полем, що містить цілі числа. Кожне ненульове раціональне число \(p/q\) має обернений за множенням елемент \(q/p\), і всі аксіоми поля виконуються.

Множина \(\mathbb{R}\) дійсних чисел є полем, що розширює \(\mathbb{Q}\). Вона допускає впорядкування, сумісне з її алгебраїчною структурою, — властивість, яка вирізняє її серед родини полів і яка відповідає за багато аналітичних концепцій, побудованих на її основі.

Множина \(\mathbb{C}\) комплексних чисел є полем, що розширює \(\mathbb{R}\). На відміну від \(\mathbb{R}\), воно є алгебраїчно замкненим: кожен непостійний поліном із коефіцієнтами в \(\mathbb{C}\) має принаймні один корінь у \(\mathbb{C}\), результат, відомий як основна теорема алгебри.

Для будь-якого простого \(p\) множина \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \{0, 1, \ldots, p-1\}\), оснащена додаванням та множенням за модулем \(p\), є полем, яке зазвичай позначають \(\mathbb{F}_p\). Це скінченне поле: воно містить рівно \(p\) елементів. Простий характер \(p\) є істотним. У \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), наприклад, елементи \(2\) та \(3\) задовольняють рівність \(2 \cdot 3 = 0\), тому жоден із них не є оберненим, і така структура не є полем.

Скінченні поля існують лише тоді, коли кількість елементів є степенем простого числа \(p^n\) для деякого простого \(p\) та додатного цілого \(n\). Для кожного такого степеня простого числа існує, з точністю до ізоморфізму, рівно одне скінченне поле, що позначається \(\mathbb{F}_{p^n}\) або \(\text{GF}(p^n)\).

Підполя та розширення полів

Підмножина \(K \subseteq F\) називається підполем \(F\), якщо \(K\) сама по собі є полем відносно операцій, успадкованих від \(F\). Еквівалентно, \(K\) є підполем \(F\), якщо воно містить \(0\) та \(1\) і є замкненим відносно додавання, протилежного елемента, множення та взяття обернених за множенням ненульових елементів. Раціональні числа \(\mathbb{Q}\) утворюють підполе \(\mathbb{R}\), яке, своєю чергою, є підполем \(\mathbb{C}\). Ці включення визначають ланцюг полів:

\[ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \]

Коли \(K\) є підполем \(F\), кажуть, що \(F\) є розширенням поля \(K\), що записується як \(F/K\). З цієї точки зору, \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) є розширенням поля, і \(\mathbb{C}\) можна розглядати як двовимірний векторний простір над \(\mathbb{R}\) з базисом \(\{1, i\}\). Розмірність \(F\), розглянутого як векторний простір над \(K\), називається ступенем розширення і позначається \([F : K]\). У цьому прикладі \([\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2\).

Характеристика поля

Кожне поле \(F\) має відповідне невід'ємне ціле число, яке називається його характеристикою; вона визначає, скільки разів потрібно додати одиницю (нейтральний елемент за множенням) саму до себе, щоб отримати нуль. Формально, характеристикою \(F\) є найменше додатне ціле число \(n\), таке що:

\[ \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n} = 0 \]

Якщо такого \(n\) не існує, характеристика визначається як \(0\). Характеристика поля завжди є або нулем, або простим числом. Якби характеристика була складеним числом \(n = ab\) при \(1 < a, b < n\), можна було б записати:

\[ 0 = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n} = \left(\underbrace{1 + \cdots + 1}_{a}\right) \cdot \left(\underbrace{1 + \cdots + 1}_{b}\right) \]

Оскільки в полі немає дільників нуля, один із двох множників мав би бути рівним нулю, що суперечило б мінімальності \(n\). Поля \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) та \(\mathbb{C}\) мають характеристику нуль. Скінченне поле \(\mathbb{F}_p\) має характеристику \(p\).

Гомоморфізми полів

Гомоморфізмом полів називається функція \(\varphi : F \to K\) між двома полями, яка зберігає обидві операції: для всіх \(a, b \in F\) виконується:

\[\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)\] \[\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\]

Маємо, що \(\varphi(1_F) = 1_K\). Кожен гомоморфізм полів обов'язково є ін'єктивним. Щоб переконатися в цьому, зауважимо, що його ядро є ідеалом \(F\):

\[\ker(\varphi) = \{a \in F : \varphi(a) = 0\}\]

Оскільки \(F\) є полем, його єдиними ідеалами є \(\{0\}\) та саме \(F\), і умова \(\varphi(1) = 1 \neq 0\) виключає другу можливість. Бієктивний гомоморфізм полів називається ізоморфізмом полів. Два поля є ізоморфними, що записується як \(F \cong K\), якщо між ними існує ізоморфізм. Ізоморфні поля алгебраїчно невідрізні: вони мають усі властивості, що залежать лише від аксіом поля.

Функція є ін'єктивною, або взаємно однозначною, якщо різні елементи області визначення відображаються в різні елементи області значень: \(\varphi(a) = \varphi(b)\) означає \(a = b\). Функція є бієктивною, якщо вона одночасно ін'єктивна та сюр'єктивна, тобто вона є взаємно однозначною і кожен елемент області значень є образом принаймні одного елемента області визначення.