Ряди Фур'є

Означення

Ряд Фур'є представляє періодичну функцію як нескінченну суму синусів та косинусів. Точніше, він показує, що періодична поведінка може бути розкладена на елементарні гармонічні коливання. Цей результат виражає структурну властивість періодичних функцій: коливальні компоненти утворюють природну систему координат для опису повторення.

Нехай \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) — функція, яка є періодичною з періодом \( 2\pi \), тобто:

\[ f(x + 2\pi) = f(x) \, \forall x \in \mathbb{R} \]

Припустимо, що \( f \) є інтегруваною на проміжку \( [-\pi,\pi] \). Рядом Фур'є для \( f \) є формальний тригонометричний розклад:

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \]

  • Символ \( \sim \) підкреслює, що ми ще не стверджуємо рівність (ми визначаємо тригонометричний ряд, пов'язаний з \( f \)).
  • Питання про те, чи збігається ряд до \( f \), буде розглянуто пізніше.
  • Кожен доданок \( \cos(nx) \) та \( \sin(nx) \) представляє коливання з частотою \( n \).
  • Таким чином, розклад розкладає \( f \) на її гармонічні компоненти.

Коефіцієнти Фур'є

Коефіцієнти \( a_n \) та \( b_n \) визначаються наступними інтегралами:

\[ \begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx \\ a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx \quad n \ge 1 \end{align} \]

Ці вирази не введені за домовленістю і не обрані просто тому, що вони працюють. Вони випливають зі структурного факту про синуси та косинуси: на повному періоді вони ортогональні один одному. На проміжку \( [-\pi,\pi] \) тригонометричні хвилі з різними частотами залишаються незалежними при інтегруванні, що і дозволяє нам ізолювати одну гармоніку за раз і визначити відповідний коефіцієнт.

\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)\,dx &= \begin{cases} \pi & n=m\neq 0 \\ 0 & n\ne m \end{cases} \\[6pt] \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx)\,dx &= \begin{cases} \pi & n=m \\ 0 & n\ne m \end{cases} \\[6pt] \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\cos(mx)\,dx &= 0 \end{align} \]

Ці співвідношення означають, що тригонометрична система поводиться як ортогональний базис за скалярним добутком:

\[ \langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx \]

Кожен коефіцієнт вимірює, наскільки присутній у функції конкретний гармонічний напрямок. У цьому сенсі розклад Фур'є є процесом проекції в нескінченновимірному просторі.

Приклад 1

Цей приклад ілюструє, як навіть проста лінійна функція набуває багатої гармонічної структури при періодичному продовженні. Розглянемо функцію \(f(x) = x\), визначену на \( (-\pi,\pi) \) і продовжену періодично з періодом \( 2\pi \). Ця функція є непарною. Отже:

\[ a_0 = 0 \quad a_n = 0 \]

Обчислимо коефіцієнти при синусах:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx \]

Використовуючи інтегрування по частинах, отримаємо:

\[ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \]

Звідси ряд Фур'є має вигляд:

\[ x \sim 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \]

Коефіцієнти спадають як \( \frac{1}{n} \). Повільний спад відображає той факт, що \( f \) є неперервною, але не диференційовною на кінцях періоду. Періодичне продовження вносить розриви стрибка в точках, кратних \( \pi \), що впливає на поведінку збіжності.

Збіжність рядів Фур'є

Означення ряду Фур'є не гарантує автоматично збіжності до вихідної функції. Класичний результат стверджує, що якщо \( f \) задовольняє наступним умовам Діріхле:

  • \( f \) є шматочно неперервною
  • \( f \) має скінченну кількість локальних екстремумів на \( [-\pi,\pi] \)
  • \( f \) має скінченну кількість розривів стрибка

тоді ряд Фур'є збігається в кожній точці \( x. \) Точніше, розглянемо \(N\)-ту часткову суму:

\[ S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) \]

\[ \lim_{N\to\infty} S_N(x) = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} \]

У точках, де \( f \) є неперервною, ряд збігається до \( f(x) \). У точках розривів стрибка він збігається до середнього значення лівої та правої границі. Така поведінка розкриває фундаментальну властивість наближення Фур'є: воно враховує середню локальну поведінку, а не точкові значення в розривах.

  • Якщо \( f \) є неперервно диференційовною, коефіцієнти спадають швидше.
  • Якщо \( f \) має розриви, спад повільніший.
  • Чим гладша функція, тим швидше зменшуються амплітуди гармонік.

Вибрана література