Функція Діріхле

Означення

Функція Діріхле визначена на \(\mathbb{R}\) за наступним правилом:

\[ D(x) = \begin{cases} 1 & \text{якщо } x \in \mathbb{Q} \\[6pt] 0 & \text{якщо } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]

На перший погляд це здається майже тривіальним означенням, простим розмежуванням між раціональними та ірраціональними числами. Проте саме ця простота приховує надзвичайно неправильну аналітичну поведінку, що зробило цю функцію ключовим об'єктом у теорії інтегрування та реальному аналізі.

Помітною властивістю \(D\) є її розривність у кожній точці \(\mathbb{R}\). Цей результат випливає з взаємної щільності \(\mathbb{Q}\) та \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) на дійсній прямій.

Для будь-якої фіксованої точки \(x_0 \in \mathbb{R}\) та будь-якого \(\varepsilon > 0\), проміжок \((x_0 – \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) містить як раціональні, так і ірраціональні числа. Отже, не існує такого околу \(x_0\), на якому \(D\) була б сталою, і будь-яку послідовність, що збігається до \(x_0\), можна побудувати так, щоб значення \(D\) нескінченно чергувалися між \(0\) та \(1\). Як результат, наступна границя:

\[\lim_{x \to x_0} D(x)\]

не існує для будь-якого \(x_0\), що встановлює розривність у кожній точці. Оскільки функція, яка є розривною всюди, не може бути інтегруемою за Ріманом на будь-якому невиродженому проміжку, це можна підтвердити, зауваживши, що верхні та нижні суми Дарбу залишаються фіксованими на рівні \(1\) та \(0\) відповідно для будь-якого поділу проміжку.

Суми Дарбу — це суми, отримані шляхом множення максимального або мінімального значення функції на кожному підпроміжку поділу на ширину цього підпроміжку. Ці суми використовуються для наближення інтеграла зверху та знизу.

Неінтегруальність у сенсі Рімана

Розглянемо проміжок \([a, b]\) з \(a < b\) та будь-який поділ \(\mathcal{P}\), такий що:

\[\mathcal{P} = {a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b}\]

На кожному підпроміжку \([x_{i-1}, x_i]\) супремум \(D\) дорівнює \(1\) через щільність раціональних чисел, тоді як інфімум дорівнює \(0\) через щільність ірраціональних чисел. Отже:

\[U(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot (x_i – x_{i-1}) = b – a\] \[L(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot (x_i - x_{i-1}) = 0\]

Оскільки \(U(D, \mathcal{P}) – L(D, \mathcal{P}) = b - a > 0\) для будь-якого поділу \(\mathcal{P}\), критерій Рімана не виконується. Таким чином, функція не є інтегруемою у класичному сенсі на будь-якому нетривіальному проміжку.

Теорія інтегрування Лебега вносить значне зрушення в перспективу. Множина \(\mathbb{Q}\) є зліченною і, отже, має міру Лебега нуль: \(\lambda(\mathbb{Q}) = 0\). Звідси випливає, що \(D(x) = 0\) майже всюди відносно міри Лебега, і оскільки функція, що дорівнює нулю майже всюди, має нульовий інтеграл, отримаємо

\[ \int_{a}^{b} D(x) \, d\lambda = 0 \]

для будь-якого проміжку \([a, b]\). Це одна з найбільш наочних ілюстрацій ширших можливостей теорії Лебега порівняно з теорією Рімана: за визначенням, вона не надає ваги множинам з мірою нуль, навіть якщо ці множини є щільними на дійсній прямій.

Диференційовність

Питання про те, чи має \(D\) похідну в будь-якій точці, має однозначну відповідь: \(D\) ніде не є диференційовною. Похідна \(D\) у точці \(x_0\) визначається як границя:

\[ D’(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{D(x_0 + h) - D(x_0)}{h} \]

за умови, що ця границя існує. Оскільки диференційовність передбачає неперервність, а \(D\) є розривною в кожній точці \(\mathbb{R}\), звідси негайно випливає, що \(D\) не може бути диференційовною ніде.

Цей висновок також можна побачити безпосередньо через різницеві частки. Зафіксуємо будь-яке \(x_0\) та розглянемо дві послідовності \((r_n)\) та \((s_n)\), що збігаються до \(x_0\), де \(r_n \in \mathbb{Q}\) та \(s_n \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) для всіх \(n\). Якщо \(x_0 \in \mathbb{Q}\), то:

\[\frac{D(r_n) - D(x_0)}{r_n - x_0} = \frac{1 – 1}{r_n – x_0} = 0\] \[\frac{D(s_n) - D(x_0)}{s_n - x_0} = \frac{0 – 1}{s_n – x_0} = \frac{-1}{s_n - x_0}\]

Другий вираз є необмеженим при \(s_n \to x_0\). Якщо натомість \(x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), то:

\[\frac{D(r_n) - D(x_0)}{r_n - x_0} = \frac{1 – 0}{r_n – x_0} = \frac{1}{r_n - x_0}\] \[\frac{D(s_n) – D(x_0)}{s_n – x_0} = \frac{0 - 0}{s_n - x_0} = 0\]

Тепер саме перший вираз зростає без обмеження при \(r_n \to x_0\). У будь-якому випадку різницева частка не має скінченної границі, що підтверджує, що \(D’(x_0)\) не існує.

Функція Томе

Функція, тісно пов'язана з функцією Діріхле, відома як функція Томе або «попкорн-функція», визначається наступним чином:

\[ T(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q} & \text{якщо } x = \dfrac{p}{q} \\[6pt] 0 & \text{якщо } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]

Маємо \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}_{>0}\) та \(\gcd(|p|, q) = 1\), тобто дріб \(p/q\) є нескороченим.

На відміну від функції Діріхле, функція Томе є неперервною в кожній ірраціональній точці та розривною в кожній раціональній точці. Така поведінка ілюструє граничний випадок, що допускається критерієм Лебега для інтегрування за Ріманом: функція, інтегруюча за Ріманом, може мати розриви на множині міри нуль, і раціональні числа, хоча вони й є щільними, становлять саме таку множину.

Відповідно, функція Томе є інтегруючою за Ріманом, з інтегралом, що дорівнює нулю на кожному проміжку, і слугує «добре помірним» аналогом функції Діріхле.