Функція знака

Властивості

• Область визначення: \(\mathbb{R}\).
• Область значень: \({-1,\, 0,\, 1}\).
• Функція є непарною, оскільки \(\operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn}(x)\).
• Функція має рівно один корінь при \(x = 0\), оскільки \(\operatorname{sgn}(x) = 0\) лише коли \(x = 0\).
• Функція є сталою на \((-\infty, 0)\) та на \((0, +\infty)\), отже зростаючою в тому сенсі, що вона є неспадною на \(\mathbb{R}\).
• Функція має розрив першого роду при \(x = 0\); вона є неперервною в усіх інших точках.
• Функція не є диференційовною при \(x = 0\). Вона є диференційовною з нульовою похідною в усіх інших точках.
• Границі при наближенні до \(x = 0\) з кожного боку: \[ \begin{align} \lim_{x \to 0^-} \operatorname{sgn}(x) &= -1 \\[0.5em] \lim_{x \to 0^+} \operatorname{sgn}(x) &= 1 \end{align} \]

Оскільки дві однобічні границі відрізняються, двобічна границя не існує: \[\lim_{x \to 0} \operatorname{sgn}(x)\]

Границі на нескінченності

Коли \(x\) віддаляється від початку координат у будь-якому напрямку, функція знака стабілізується на сталому значенні:

\[ \begin{align} \lim_{x \to -\infty} \operatorname{sgn}(x) &= -1 \\[6pt] \lim_{x \to +\infty} \operatorname{sgn}(x) &= 1 \end{align} \]

Це є простим наслідком того факту, що \(\operatorname{sgn}(x) = -1\) для всіх \(x < 0\) та \(\operatorname{sgn}(x) = 1\) для всіх \(x > 0\), тому значення функції не змінюється при віддаленні \(x\) від нуля.

Похідна та інтеграл

На кожній з двох відкритих півпрямих, де функція знака є сталою, її похідна дорівнює нулю:

\[ \frac{d}{dx} \operatorname{sgn}(x) = 0 \quad \text{for } x \neq 0 \]

При \(x = 0\) похідна не існує, оскільки функція є розривною в цій точці. Однак у сенсі розподілів похідна функції знака дорівнює:

\[ \frac{d}{dx} \operatorname{sgn}(x) = 2\delta(x) \]

\(\delta(x)\) — це дельта Дірака, узагальнена функція, яка дорівнює нулю скрізь, крім початку координат, і інтегрується до одиниці на всій числовій прямій. Ця дистрибутивна тотожність демонструє, що функція знака має розрив амплітудою \(2\) у початку координат, оскільки:

\[ \lim_{x \to 0^-} \operatorname{sgn}(x) = -1 \] \[ \lim_{x \to 0^+} \operatorname{sgn}(x) = 1 \]

Ця амплітуда пояснює наявність множника \(2\) перед дельта-функцією Дірака.

Невизначений інтеграл функції знака, обчислений поза початком координат, дає абсолютне значення:

\[ \int \operatorname{sgn}(x) \, dx = |x| + c \]

Це узгоджується з тим фактом, що похідна \(|x|\) дорівнює \(\operatorname{sgn}(x)\) скрізь, де перша є диференційовною.

Зв'язок з функцією абсолютного значення

Між функцією знака та абсолютним значенням існує прямий алгебраїчний зв'язок. Для будь-якого \(x \neq 0\) виконується наступна тотожність:

\[ \operatorname{sgn}(x) = \frac{x}{|x|} \]

Цей результат узгоджується з означенням: коли \(x > 0\), відношення \(x / |x| = x/x = 1\). Коли \(x < 0\), відношення \(x / |x| = x/(-x) = -1\). Формула не визначена при \(x = 0\), тому значення \(\operatorname{sgn}(0) = 0\) призначається окремо за домовленістю.

Навпаки, абсолютне значення можна виразити через функцію знака за допомогою наступної тотожності:

\[ |x| = x \cdot \operatorname{sgn}(x) \]

Ця тотожність виконується для всіх \(x \in \mathbb{R}\), включаючи \(x = 0\), де обидві сторони дорівнюють нулю. Разом ці дві тотожності демонструють, що \(|x|\) та \(\operatorname{sgn}(x)\) є взаємодоповнюючими: абсолютне значення зберігає величину й відкидає знак, тоді як функція знака зберігає знак й відкидає величину.

Дві додаткові тотожності випливають зі зв'язку між функцією знака та абсолютним значенням. Перша тотожність має такий вигляд:

\[ x = |x| \cdot \operatorname{sgn}(x) \]

Ця тотожність виражає будь-яке дійсне число як добуток його величини та його знака. Друга тотожність використовує рівність \(|x| = \sqrt{x^2}\), яка є дійсною для всіх \(x \in \mathbb{R}\), та дає альтернативне представлення функції знака для \(x \neq 0\):

\[ \operatorname{sgn}(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}} \]