Що таке ознака Лейбніца?

Ознака Лейбніца — це критерій, що використовується для визначення збіжності знакочергувних рядів. Вона застосовується до рядів, члени яких чергуються за знаком, зменшуються за абсолютним значенням і прагнуть до нуля.

Коли можна застосувати ознаку Лейбніца?

Її можна застосувати, коли ряд має знакочергування, абсолютні значення його членів утворюють спадну послідовність, а загальний член прагне до нуля.

Чи дає ознака Лейбніца суму ряду?

Ні, вона лише підтверджує, чи збігається знакочергувний ряд. Для обчислення фактичної суми потрібні інші методи, такі як розклади Тейлора або Маклорена.

Критерій Лейбніца

2025-02-18

Для чого використовується ознака Лейбніца

Ознака Лейбніца використовується для дослідження збіжності знакоперемінних рядів, які складаються з нескінченної послідовності додатних і від'ємних членів, що змінюють знак. Розглянемо знакоперемінний ряд \[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n a_n \]

де \( a_n \geq 0 \forall n \in \mathbb{N} \). Ознака Лейбніца стверджує, що ряд збігається, якщо виконуються наступні умови:

Послідовність послідовність \( {a_n} \) є інфінітезимальною, тобто границя існує і є скінченною: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \]
\( {a_n} \) зрештою є незбільшною, тобто існує індекс \( n_0 \), такий що для кожного \( n \geq n_0 \) виконується: \[ a_{n+1} \leq a_n \]

На практиці ознака Лейбніца дозволяє негайно встановити збіжність ряду лише на основі перевірки вищезазначених умов. Однак цей тест не є універсальним і застосовується тільки до знакоперемінних рядів.

Якщо ряд

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^k a_k \]

є збіжним і \( S \) — його сума, то для кожного \( n \in \mathbb{N} \) похибка, що виникає при відсіканні ряду на \( n \)-му члені, не перевищує наступного члена \( a_{n+1} \):

\[ \left| S - \sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k \right| \leq a_{n+1}. \]

Це означає, що якщо ви обчислюєте суму знакоперемінного гармонічного ряду:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]

і зупиняєтеся на члені \( n = 10 \), то максимальна похибка становитиме:

\[ \left| S – \sum_{k=1}^{10} \frac{(-1)^k}{k} \right| \leq \frac{1}{11} \]

Ознака Лейбніца лише повідомляє нам, чи збігається знакоперемінний ряд; вона не надає інформації про фактичну суму ряду. Щоб обчислити суму, необхідно використовувати інші інструменти, такі як розклади в ряди Тейлора або Маклорена, якщо вони доступні.

Доведення

Нехай \( {a_n} \) — послідовність додатних дійсних чисел, таких що \( a_n \geq a_{n+1} \forall \, n \), і \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Розглянемо знакоперемінний ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \]

і прагнемо довести, що він збігається.

Для цього дослідимо послідовність частинних сум:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} a_k \]

Аналізуємо цю послідовність, розрізняючи парні та непарні частинні суми. Коли \( n \) парне, наприклад \( n = 2m \), сума набуває вигляду:

\[ S_{2m} = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + \cdots + a_{2m-1} - a_{2m}. \]

Групуючи члени попарно, отримаємо:

\[ S_{2m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{2m-1} – a_{2m}). \]

Оскільки послідовність \( {a_n} \) є спадаючою, кожна різниця \( a_{k} – a_{k+1} \) є невипадковою (невід'ємною). Отже, кожен член у згрупованій сумі є додатним, і послідовність \( \lbrace S_{2m} \rbrace \) є зростаючою. Крім того, оскільки кожен \( a_n > 0 \), загальна сума обмежена зверху значенням \( a_1 \). Таким чином, підпослідовність \( \lbrace S_{2m} \rbrace \) збігається.

Далі зауважимо, що непарні частинні суми можна записати як

\[ S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1}. \]

Оскільки \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), різниця між \( S_{2m+1} \) та \( S_{2m} \) прямує до нуля при \( m \to \infty \). Отже, обидві підпослідовності \( \lbrace S_{2m} \rbrace \) та \( \lbrace S_{2m+1} \rbrace \) збігаються до однієї й тієї самої границі.

Звідси випливає, що повна послідовність \( \lbrace S_n \rbrace \) частинних сум збігається, а отже, знакоперемінний ряд є збіжним.

Приклад

Розглянемо наступний знакоперемінний ряд:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \]

Визначимо \( a_n = \frac{1}{n!} \), таким чином ми зосередимося на аналізі поведінки абсолютних значень членів, що є важливим при застосуванні ознаки Лейбніца.

Щоб застосувати ознаку Лейбніца, нам потрібно перевірити три умови. По-перше, члени \( a_n \) є додатними для кожного \( n \in \mathbb{N} \). По-друге, послідовність \( {a_n} \) є спадаючою. Фактично, оскільки функція факторіала зростає швидко, маємо:

\[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{n!} = a_n \]

Це підтверджує, що послідовність є строго спадаючою. По-третє, границя загального члена дорівнює нулю:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n!} = 0 \]

Оскільки всі три умови виконані, ознака Лейбніца гарантує, що ряд

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \]

збігається.

Визначте характер наступних рядів.

\[\text{1. } \quad \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\log n}\] розв'язання
\[\text{2. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\left(\frac{1}{n}\right) \] розв'язання
\[\text{3. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\log n}{n e^n} \] розв'язання

Запропоновані знакочергувні ряди підібрані для того, щоб допомогти вам зміцнити розуміння збіжності за допомогою ознаки Лейбніца. Спробуйте проаналізувати кожен ряд, щоб визначити, чи виконуються умови, перш ніж перевіряти надані розв'язання.

Глосарій

Знакочергувний ряд: ряд, у якому знаки членів чергуються.
Збіжність: властивість нескінченного ряду, при якій його часткові суми наближаються до скінченної границі зі збільшенням кількості членів.
Ознака Лейбніца: критерій, що використовується для визначення збіжності знакочергувних рядів на основі властивостей послідовності абсолютних значень членів.
Інфінітезимальна послідовність: послідовність, границі якої при прагненні індексу до нескінченності дорівнює нулю.
Сума ряду: скінченна границя, до якої наближаються часткові суми збіжного ряду. Часткова сума: сума перших n членів нескінченного ряду.