Гіпергеометричний розподіл

Середнє значення гіпергеометричного розподілу

Середнє значення, або математичне сподівання гіпергеометричного розподілу, представляє середню кількість успіхів, яку можна очікувати при вибірці без повернення зі скінченної сукупності. Щоб формально обчислити середнє значення, почнемо з означення математичного сподівання:

\[ \mu = E(X) = \sum_{x=0}^{n} x \, P(X = x) \]

Підставляючи функцію ймовірності гіпергеометричного розподілу, отримаємо:

\[ E(X) = \sum_{x=0}^{n} x \,\frac{\binom{K}{x}\,\binom{N-K}{\,n-x\,}}{\binom{N}{n}} \]

Щоб спростити цей вираз, використаємо комбінаторну тотожність, яка пов'язує два споріднених біноміальних коефіцієнти шляхом зменшення як кількості доступних успіхів, так і розміру вибірки на одиницю:

\[ x\,\binom{K}{x} = K\,\binom{K-1}{\,x-1\,} \]

Застосування цієї тотожності до суми дає:

\[ E(X) = \frac{K}{\binom{N}{n}} \sum_{x=1}^{n} \binom{K-1}{\,x-1\,}\binom{N-K}{\,n-x\,} \]

Тепер зауважимо, що сума відповідає загальній ймовірності гіпергеометричного розподілу з параметрами \(N-1\), \(K-1\) та розміром вибірки \(n-1\). Отже, сума дорівнює:

\[ \binom{N-1}{\,n-1\,} \]

Підставляючи це у вираз вище, отримаємо:

\[ E(X) = \frac{K}{\binom{N}{n}} \, \binom{N-1}{\,n-1\,} \]

Використовуючи тотожність:

\[ \frac{\binom{N-1}{\,n-1\,}}{\binom{N}{n}} = \frac{n}{N} \]

ми отримаємо кінцевий вираз для середнього значення:

\[ \mu = E(X) = n\,\frac{K}{N} \]

Цей результат показує, що середнє значення гіпергеометричного розподілу залежить від розміру вибірки \(n\) та від частки успіхів у сукупності \(K/N\). У середньому ми очікуємо побачити частку \(K/N\) успіхів у будь-якій вибірці розміром \(n\), навіть якщо вилучення здійснюється без повернення.

Дисперсія гіпергеометричного розподілу

Дисперсія гіпергеометричного розподілу вимірює, наскільки кількість спостерехуваних успіхів очікувано відхиляється від середнього значення \( \mu = n\,K/N \). У той час як середнє значення описує центральну тенденцію розподілу, дисперсія кількісно визначає його розсіювання, тобто наскільки концентрованими або розсіяними є результати при вибірці без повернення з скінченної сукупності. Формально дисперсія визначається як:

\[ \sigma^{2} = \mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2} \]

Щоб обчислити її, нагадаємо, що гіпергеометричний експеримент полягає у виборі \(n\) елементів без повернення зі скінченної сукупності розміром \(N\), що містить \(K\) успіхів та \(N-K\) невдач. Хоча вибірки не є незалежними, дисперсію можна вивести, розглянувши індикаторні змінні для кожного вибору. Нехай \(X\) — загальна кількість успіхів у вибірці, і нехай кожен вибір буде представлений індикаторною змінною:

\[ X = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} \]

де \(X_{i} = 1\), якщо \(I\)-й вибір є успіхом, і \(X_{i} = 0\) в іншому випадку. Кожен індикатор має математичне сподівання:

\[ E(X_{i}) = \frac{K}{N} \]

та дисперсію:

\[ \mathrm{Var}(X_{i}) = \frac{K}{N}\left(1 – \frac{K}{N}\right) \]

Однак, оскільки вибірка здійснюється без повернення, кожен вибір трохи змінює склад сукупності. Після того як витягнуто успіх, залишається менше успіхів, а після того як витягнуто невдачу, залишається менше невдач. У результаті вибірки впливають одна на одну, і загальна мінливість зменшується порівняно з біноміальним випадком. Враховуючи цей ефект, дисперсія набуває вигляду:

\[ \mathrm{Var}(X) = n\,\frac{K}{N}\left(1 – \frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{\,N-1\,} \]

Отже, дисперсія гіпергеометричного розподілу дорівнює:

\[ \sigma^{2} = n\,\frac{K}{N}\left(1 - \frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{\,N-1\,} \]

Цей вираз показує, як розсіювання розподілу залежить не тільки від частки успіхів \(K/N\), але й від того факту, що вибірка здійснюється без повернення.