Функція котангенса

Функція котангенс

Функція котангенс \( f(x) = \cot(x) \) кожному куту \( x \), вираженому в радіанах, присвоює відповідне значення котангенса. Її графіком є періодична крива з періодом \( \pi \), яка має вертикальні асимптоти в точках, де синус \( x \) дорівнює нулю, а саме при \( x = k\pi \) для \( k \in \mathbb{Z} \). Функція \( f(x) = \cot(x) \) має область визначення, що складається з усіх дійсних чисел, за винятком цих точок, а її область значень — усі дійсні числа.

• Область визначення: \( { x \in \mathbb{R} : x \neq k\pi \text{ для всіх } k \in \mathbb{Z} } \)
• Область значень: \( y \in \mathbb{R} \)
• Періодичність: періодична за \( x \) з періодом \( \pi \)
• Парність: непарна, \( \cot(-x) = -\cot(x) \)

• Котангенс \( x \) визначається як відношення косинуса до синуса кута \( x \). \[ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \]

• Корені: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
• Головний корінь: \( x = \frac{\pi}{2} \)

• Помітні границі:

  \[ \lim\limits_{x \to 0} x \cot(x) = 1 \]

  \[ \lim_{x\to0^+} \cot(x) = +\infty \quad \text{та} \quad \lim_{x\to0^-} \cot(x) = -\infty \]

• Функція є неперервною та диференційовною на своїй області визначення.
• Похідна: \[ \frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x) \]

• Невизначений інтеграл: \[ \int \cot(x) dx = \ln |\sin(x)| + c \]

Вичерпний огляд тригонометричних інтегралів, разом із найкориснішими методами перетворення та підстановки для розв'язання складніших випадків, доступний на сторінці про інтеграли тригонометричних функцій.

• Альтернативна форма функції \( \cot(x) \) з використанням уявних чисел задається формулою Ейлера. Тут \( e^{ix} \) — це показникова функція з основою \( e \), а \( i \) — уявна одиниця. Виразивши синус і косинус як \[ \sin(x) = \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i} \quad \text{та} \quad \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \] ми отримаємо функцію котангенса як \[ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = i \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{e^{ix} – e^{-ix}}. \]