Похідна складених степеневих функцій
Складені степеневі функції та похідні
Раніше ми розглянули, як обчислити похідну функції в точці, використовуючи означення різницевої частки. Ми також вивчили, як диференціювати прості функції та складені функції. Тепер розглянемо, як диференціювати степеневі функції вигляду:
\[ D[f(x)]^{g(x)} \]
Для обчислення похідної такої функції використовується комбінація логарифмічного правила та похідної показникових функцій. Загальна формула похідної \(f(x)^g(x)\) за умови, що \(f\) та \(g\) є диференційовними, має такий вигляд:
\[ D[f(x)]^{g(x)} = f(x)^{g(x)} \left[ g’(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f’(x)}{f(x)} \right ] \]
Де:
- \( f(x)^{g(x)} \) — початкова функція.
- \( f’(x) \) — похідна \( f(x) \).
- \( \ln f(x) \) — натуральний логарифм \( f(x) \).
- \( g’(x) \) — похідна \( g(x) \).
Приклад
Розглянемо як приклад функцію \( y = x^{2x} \) та обчислимо її похідну.
Спочатку перепишемо функцію, застосувавши логарифм до обох частин:
\[\ln y = \ln(x^{2x})\]
За властивостями логарифмів \(\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)\)
Рівняння можна переписати як:
\[\ln y = 2x \cdot \ln(x)\]
Оскільки \(\ln y\) є складеною функцією, її похідна дорівнює
\[\frac{1}{y} \cdot y’\]
Обчислимо похідну для виразу в правій частині рівняння \(2x \cdot \ln(x)\):
\[2 \cdot \ln(x) + 2x \cdot \frac{1}{x}\]
Отримаємо:
\[ \frac{1}{y} \cdot y’ = 2 \cdot \ln(x) + 2x \cdot \frac{1}{x}\]
Рівняння можна переписати як:
\[ y’ = y \cdot (2 \cdot \ln(x) + 2)\]
Оскільки \(y = x^{2x}\), маємо:
\[ y’ = x^{2x} \cdot (2 \cdot \ln(x) + 2)\]
Отже, похідна \( y = x^{2x} \) дорівнює:
\[ x^{2x} \cdot (2 \cdot \ln(x) + 2)\]
Перевірте себе
-
\[\text{1. } \quad y = x^{2\cos(x)}\] розв'язання
-
\[\text{2. } \quad y = x^{\ln(x)}\] розв'язання