Що таке послідовність функцій?

Послідовність функцій — це список функцій, індексованих натуральними числами, що зазвичай записується як (f_n).

Що означає, що послідовність функцій збігається поточково?

Послідовність функцій збігається поточково, якщо для кожного фіксованого x в області визначення послідовність дійсних чисел f_n(x) збігається до f(x) при збільшенні n.

Яка різниця між поточковою та рівномірною збіжністю?

Поточкова збіжність означає, що кожна точка має свою швидкість збіжності, тоді як рівномірна збіжність означає, що послідовність збігається з однаковою швидкістю для всіх точок в області визначення.

Чи можете ви навести приклад поточкової збіжності?

Так, наприклад, послідовність f_n(x) = x/n збігається поточково до 0 для всіх x в області визначення.

Послідовності функцій

2025-02-18

Вступ

Уявіть, що у вас є список різних функцій, де кожна функція в списку пов'язана з числом \(n = 1, 2, 3… \in \mathbb{N} \). Отже, для кожного \(n\) ви отримуєте різну функцію, і цей впорядкований список функцій — це, по суті, те, чим є послідовність функцій. У формальних термінах, нехай \( A \subseteq \mathbb{R} \) буде непорожньою підмножиною і припустимо, що для кожного \( n \in \mathbb{N} \) ми маємо функцію \( f_n: A \rightarrow \mathbb{R} \). Тоді ми кажемо, що \( (f_n) = (f_1, f_2, f_3, \dots) \) є послідовністю функцій на \( A. \)

Розглянемо простий практичний приклад. Нехай \( (f_n) \) буде послідовністю функцій, де \(n \in \mathbb{N}_0\) та \( x \in \mathbb{R} \), визначеною як:

\[ f_n(x) = \frac{x}{n+1} \]

Це сімейство функцій, де кожна функція є лінійною, а кутовий коефіцієнт зменшується зі збільшенням \(n\). Для \(n = 0, 1, 2, 3, …\), ми маємо:

\[ \begin{aligned} f_0(x) &= \frac{x}{0+1} = x \\[0.5em] f_1(x) &= \frac{x}{1+1} = \frac{x}{2} \\[0.5em] f_2(x) &= \frac{x}{2+1} = \frac{x}{3} \\[0.5em] f_3(x) &= \frac{x}{3+1} = \frac{x}{4} \\[0.5em] \vdots \end{aligned} \]

Таким чином, послідовність функцій має вигляд:

\[ (f_n) = \left( x, \frac{x}{2}, \frac{x}{3}, \frac{x}{4}, \dots \right) \]

Графічно цю ситуацію можна спостерігати наступним чином:

Графік показує, як зі збільшенням індексу \(n\) кутовий коефіцієнт прямої \(f_n(x)\) поступово зменшується. Це відображає той факт, що функція spлющується до нульової функції \(f(x) = 0\) для кожного \(x\). Іншими словами, послідовність функцій \(f_n(x)\) поцентрово збігається до нульової функції при \(n \to \infty\).

Поцентрова збіжність

Нехай \( \lbrace f_n(x) \rbrace \) буде послідовністю функцій, визначених на спільній області визначення \( A \subseteq \mathbb{R} \), де \( n \in \mathbb{N} \). Ми кажемо, що послідовність \( \lbrace f_n(x) \rbrace \) збігається поцентрово на множині \( C \subseteq A \), якщо для кожного \( x \in C \) числова послідовність \( \lbrace f_n(x) \rbrace \) є збіжною. У цьому випадку гранична функція \( f(x) \) визначається як:

\[ f(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \quad \forall \, x \in C \]

Множина \( C \) називається множиною поцентрової збіжності послідовності \( {f_n(x)} \).

Поцентрову збіжність також можна виразити наступним чином. Нехай \((f_n)\) — послідовність функцій, визначених на множині \(A\). Тоді \((f_n)\) збігається поцентрово до \(f : A \to \mathbb{R}\) тоді і тільки тоді, коли \(\forall \, x \in A\) та \(\forall \varepsilon > 0\) існує \(K \in \mathbb{N} \), таке що:

\[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall \; n \geq K\]

Іншими словами, для кожної фіксованої точки \( x \) ми можемо зробити \( f_n(x) \) настільки близькою до \( f(x) \), наскільки забажаємо, обравши достатньо велике \( n \). Індекс \( K \), необхідний для досягнення бажаної точності, може змінюватися залежно від \( x \) та \( \varepsilon \).

Розглянемо послідовність функцій, обговорену раніше:

\[ f_n(x) = \frac{x}{n+1}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}_0 \]

Дослідимо, що відбувається для кожного \(x\) при \(n \to \infty\). Якщо ми зафіксуємо довільне \(x\), наприклад \(x = 2\), відповідна послідовність буде такою:

\[ \begin{aligned} f_0(2) &= 2 \\[0.5em] f_1(2) &= 1 \\[0.5em] f_2(2) &= \frac{2}{3} \\[0.5em] f_3(2) &= \frac{2}{4} \\[0.5em] &\vdots \end{aligned} \]

Ця послідовність чисел прямує до нуля при \(n \to \infty\). Загалом, для кожного \(x \in \mathbb{R}\):

\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0 \]

Отже, гранична функція має вигляд:

\[ f(x) = 0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \]

З єдиності границь послідовностей дійсних чисел випливає, що поцентрова границя послідовності функцій \( (f_n) \) є єдиною.

Приклад

Розглянемо поведінку наступної послідовності функцій на проміжку \(-1 < x < 1\):

\[ f_n(x) = x^n \]

Для фіксованого значення \(x\) на цьому проміжку ми знаємо, що абсолютне значення \(x\) менше за \(1\), тобто \(|x| < 1\). Це означає, що ми розглядаємо степені числа, яке за абсолютним значенням менше за \(1\). За властивостями показників, коли основа має абсолютне значення менше за \(1\), послідовність \(x^n\) прямує до нуля, коли \(n\) прямує до нескінченності:

\[ \lim_{n \to \infty} x^n = 0 \]

Послідовність степенів дійсного числа \(x\) при \(|x| < 1\) збігається до нуля.

Отже, для кожного \(x\) на проміжку \(-1 < x < 1\) послідовність функцій \(f_n(x) = x^n\) збігається поточково до нульової функції.

\[ f(x) = 0 \quad \forall \, x \in (-1,1) \]

Наслідки поточкової збіжності

Нехай \( {f_n} \) — послідовність функцій \( f_n : A \to \mathbb{R} \), яка збігається поточково до функції \( f : A \to \mathbb{R} \). Виконуються такі властивості:

Якщо кожна \( f_n(x) \geq 0 \) для всіх \( x \in A \), то \( f(x) \geq 0 \) для всіх \( x \in A \). На практиці, якщо кожна функція \(f_n(x)\) є невивідною (невід'ємною) на \(A\), то гранична функція \(f(x)\) також буде невід'ємною на \(A\). Це відображає той факт, що границя послідовності невід'ємних дійсних чисел не може бути від'ємною.
Якщо кожна \( f_n \) є неспадною на \( A \), то \( f \) є неспадною на \( A \). Відповідно, якщо кожна функція \(f_n\) є неспадною на \(A\), то гранична функція \(f\) також буде неспадною на \(A\). Іншими словами, властивість монотонності зберігається при поточковій збіжності.

Рівномірна збіжність

Нехай \( (f_n) \) — послідовність функцій, визначених на множині \( A \subseteq \mathbb{R} \). Ми кажемо, що \( (f_n) \) збігається рівномірно на \( A \) до функції \( f : A \to \mathbb{R} \), якщо для будь-якого \( \varepsilon > 0 \) існує натуральне число \( K \), таке що для всіх \( n \geq K \) та всіх \( x \in A \) виконується наступна нерівність:

\[ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \]

Якщо \( (f_n) \) збігається рівномірно до \( f \), то \( (f_n) \) також збігається поточково до \( f. \)

Розглянемо послідовність функцій:

\[ f_n(x) = \frac{x}{n}, \quad x \in [0,1], \quad n \in \mathbb{N}. \]

Для кожного фіксованого \(x\) на проміжку \([0,1]\) маємо:

\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \]

Це означає, що послідовність \(f_n(x)\) збігається поточково до функції \(f(x) = 0\). Тепер перевіримо, чи є збіжність рівномірною на \([0,1]\). Обчислимо різницю між \(f_n(x)\) та граничною функцією \(f(x)\):

\[ |f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{x}{n} - 0 \right| = \frac{x}{n} \]

Максимальне значення цієї різниці на проміжку \([0,1]\) дорівнює:

\[ \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n} \]

Для будь-якого \(\varepsilon > 0\) ми можемо обрати \(N\), таке що:

\[ \frac{1}{N} < \varepsilon \]

Отже, для всіх \(n \geq N\) та для всіх \(x \in [0,1]\) маємо:

\[ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \]

Це підтверджує, що послідовність функцій \(f_n(x) = \frac{x}{n}\) збігається рівномірно до граничної функції \(f(x) = 0\) на проміжку \([0,1]\).