Середнє квадратичне
Що таке квадратичне середнє?
Квадратичне середнє, також відоме як середньоквадратичне значення, належить до загальної родини степеневих середніх. Його отримують, беручи квадратний корінь з середнього арифметичного квадратів значень у наборі даних. Цей показник особливо корисний, коли напрямок даних не має значення, але важлива величина кожного значення.
Оскільки кожне значення підноситься до квадрата перед усередненням, більші числа мають сильніший вплив на результат. З цієї причини квадратичне середнє ефективно представляє величини, що комбінуються за квадратичними залежностями, де варіації величини мають бути збережені, а не скасовані знаком.
Простими словами, воно описує точку рівноваги квадратичного розподілу, надаючи реалістичну міру середньої інтенсивності або ефективного значення набору даних.
У загальному вигляді квадратичне середнє виражається як:
\[ M_2 = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} \]
де \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — це спостережувані значення, а \(n\) — загальна кількість елементів.
- Квадратичне середнє може бути застосоване до будь-якої множини дійсних чисел, додатних або від'ємних.
- Оскільки обчислення передбачає піднесення кожного члена до квадрата, воно завжди більше або дорівнює середньому арифметичному та геометричному.
- Воно забезпечує точний опис даних, що представляють величини, такі як напруга, прискорення, потужність або стандартне відхилення, де загальна сила варіації є важливішою за її напрямок.
Приклад 1
Розглянемо середню варіацію температури в маленькому гірському містечку протягом п'яти послідовних осінніх днів. Оскільки температура може коливатися вище і нижче нуля, ми використаємо квадратичне середнє, щоб зафіксувати загальну величину варіації, незалежно від знака.
| День | Температура (°C) |
|---|---|
| Понеділок | –3.5 |
| Вівторок | 0.0 |
| Середа | 2.8 |
| Четвер | –1.6 |
| П'ятниця | 3.2 |
Підставляючи спостережувані значення у формулу квадратичного середнього, отримаємо:
\[ \begin{align} M_2 &= \sqrt{\frac{(-3.5)^2 + 0.0^2 + (2.8)^2 + (-1.6)^2 + (3.2)^2}{5}} \\[3pt] &= \sqrt{\frac{12.25 + 0.00 + 7.84 + 2.56 + 10.24}{5}} \\[3pt] & = \sqrt{\frac{32.89}{5}} \approx 2.56 \end{align} \]
- Якщо розглянути середнє арифметичне (0.18 °C), воно помітно нижче за квадратичне середнє (2.56 °C).
- Це відбувається тому, що середнє арифметичне враховує знак кожного значення, тому від'ємні температури компенсують додатні.
- Квадратичне середнє, з іншого боку, вимірює загальну величину варіацій, надаючи більш реалістичну картину фактичної теплової інтенсивності за цей період.
Звідси, квадратичне середнє значення температури приблизно дорівнює:
\[ M_2 = 2.56 \text{ °C} \]